Butterfly Effect - Il tocco di Dio nelle ali di una farfalla

Le Regole del Caos

Un battito d'ali può provocare un uragano? La risposta è si, grazie a una lunga serie di cause ed effetti che

tuttavia resta indecifrabile e non possiamo prevedere. Ma un poco alla volta la scienza sta cercando di mettere

ordine anche nei fenomeni disordinati “per natura”.

Può il battito d'ali di una farfalla scatenare un uragano a migliaia di chilometri di distanza?

La nostra atmosfera è formata da molecole di gas e vapore acqueo che interagiscono attraverso semplici urti.

Urti che sono alla base delle variazioni climatiche.

Non è una questione banale. Edward Lorenz, meteoreologo del Massachusetts Istitute of Technology di Boston

(MIT), fece la stessa affermazione ai colleghi che erano presenti a un congresso, questi restarono allibiti. Lorenz

aveva scoperto un fatto nuovo: partendo da due stati iniziali che siano anche solo leggermente differenti un

sistema può seguire evoluzioni molto diverse e queste rende le condizioni metereologiche che ci saranno di

fatto sostanzialmente impossibili da prevedere.

A ben guardare poi, il caos, ci circonda più di quanto immaginiamo. Il cervello umano è composto da un

numero enorme di elementi semplici, i neuroni, che scambiano tra loro impulsi elettrici. Tuttavia questo sistema è

capace di percepire sensazione e formare pensieri. Il cervello è dunque ciò che la Fisica definisce “ Sistema

Complesso”., anzi e il miglior esempio di tale sistema, difficilmente prevedibile e quindi caotico.

Eppure anche il caos ha le sue regole e scoprirle attraverso quella che è stata definita la “ Scienza del Caos “

consentirebbe di fare previsioni sempre più affidabili risalendo attraverso la catena delle cause e degli effetti fino

“ all'effetto farfalla”.

Nei sistemi caotici gli attrattori hanno proprietà molto particolari, e per questo sono chiamati “attrattori strani”

note come figure irregolari detti frattali. La sua caratteristica principale è che ogni sua porzione può essere vista

come una riproduzione su scala ridotta dell'intera figura. In pratica; la struttura dell'attrattore strano osservata

ad altro ingrandimento è la replica quasi esatta dell'intero. Questa proprietà geometrica, nota come invarianza

di scala è la firma del caos.

Attenzione, perchè avere di fronte un frattale significa anche che per quanto io mi possa sforzare, non sarò mai

in grado di prevedere completamente l'evoluzione del sistema che sto studiando.

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sistemi

La teoria del caos è un settore della teoria matematica dei sistemi dinamici che si occupa dei cosiddetti

caotici. Teoria

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

Sensibilità alle condizioni iniziali', ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o,

• genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo

di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti

d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.

Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema con precisione 'assoluta'

• a partire da assegnate condizioni al contorno, ovvero l'evoluzione del sistema è descritta, nello spazio

delle fasi, da innumerevoli 'orbite' (traiettorie di stato) diverse tra loro.

Orbite spazio delle fasi

Le nello ' ' restano comunque tutte confinate in un certo spazio, cioè il sistema

• attrattori caos-

non evolve verso l'infinito per nessuna variabile. Si parla in questo caso di ' ' o di '

deterministico '.

Ad esempio la mappa lineare: x

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la

loro distanza) ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero

x

sufficientemente alto di passaggi diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento

n

caotico. 7

Mentre la mappa non lineare: x

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di iniziali tra 0 e 1, rimane

confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione

viene chiamata mappa logistica, e descrive matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo. Il fatto

x

che il valore di , sia limitato indica il fatto che una qualunque popolazione non può crescere indefinitamente,

n

dal momento che ha a disposizione una quantità di risorse necessariamente limitata.

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica

caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda

mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi

l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza).

Così pure il sistema caotico del "gatto di Arnold" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di

un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla

forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un

certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

Un sistema caotico autonomo è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio

degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile

di stato.

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia (attrattore di Lorentz), climatologia, fluidodinamica

(turbolenza), teoria del laser, ecologia.

8 Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Sistemi discreti

●

1. La mappa logistica è un mappa polinomiale, spesso citata come un archetipo esempio di quanto può

essere complesso, caotico il comportamento che può risultare da una semplice equazione dinamica non lineare.

La mappa fu resa popolare nel 1976 dal biologo Robert May. Matematicamente, la mappa logistica è scritta:

Dove: x n, x

è un numero compreso tra zero e uno, e rappresenta la popolazione in un anno e quindi

n o

rappresenta la popolazione iniziale (all'anno 0)

r è un numero positivo, e rappresenta un tasso combinato tra la riproduzione e la fame.

Questa equazione non lineare descrive due effetti:

Diagramma dei raddoppiamenti di periodo della mappa logistica

la crescita di tipo esponenziale della popolazione (effetto più visibile quando la popolazione è piccola)

• la competizione intraspecifica quando la popolazione è numerosa , vale a dire la mortalità aggiuntiva

• dovuta alla competizione degli individui tra loro per assicurarsi il cibo necessario. Questo è tradotto

matematicamente dal termine quadratico con segno negativo.

Tuttavia questo modello ipotizza che:

le risorse per la popolazione siano illimitate, infinite

• non ci sia competizione interspecifica, cioè non vi sia mortalità dovuta a competizione con altre specie.

•

Comunque, essendo un modello demografico, la mappa logistica ha il problema che in qualche caso di

condizioni iniziali e valori dei parametri porta ad un valore negativo della popolazione. Questo problema non

compare nel vecchio modello di Ricker. 9

Caos e la mappa logistica

La relativa semplicità della mappa logistica fornisce un eccellente punto di entrata nella considerazione del

concetto del caos. La ruvida descrizione del caos e questi sistemi caotici esibiscono una grande sensibilità alle

r

condizioni iniziali -- una proprietà della mappa logistica per la maggior parte dei valori di tra 3.57 e 4 (come

notato sopra). Diagramma in due e tre dimensioni della mappa logistica.

La figura seguente illustra l'allungamento e il piegamento verso l'alto della sequenza delle iterazioni della

r=4,

mappa. La figura (a), sinistra, da una versione in 2d del diagramma della mappa logistica per e chiaramente

mostra la curva quadratica della equazione differente. Comunque, si può fissare la stessa situazione nella

versione 3d del diagramma, in modo da investigare più profondamente la struttura della mappa. La figura (b),

destra, dimostra ciò, mostra come inizialmente vicino ai punto inizino a divergere, particolarmente in quelle

X

regioni di corrispondenti alla sezione più ripida del tracciato.

t

10 2. Attrattore di Hénon

Michel Hénon, astronomo all'Osservatorio di Nizza, costruì uno degli attrattori strani più interessanti. Egli

osservò infatti che per determinati valori di energia, le intersezioni tra le orbite degli oggetti celesti ed un piano

immaginario davano luogo ad una forma geometrica abbastanza regolare, mentre per energie più elevate, tali

orbite erano caotiche. Studiò allora un modello geometrico che fosse dato da semplici trasformazioni

topologiche come stiramenti e contrazioni.

« Hénon disegnò un ovale piano su un foglio di carta. Per stirarlo, prese una breve funzione numerica che

spostasse ogni punto dell'ovale in un nuovo punto appartenente ad una forma stirata verso l'alto al centro: un

arco. [...] Poi Hénon scelse una seconda rappresentazione, questa volta una contrazione che comprimesse l'arco

verso l'interno per renderlo più stretto. E poi una terza mappa che ruotasse l'arco così reso più stretto sul fianco,

in modo da allinearlo con precisione con l'ovale originario. Le tre rappresentazioni potevano essere combinate

J. Gleick)

in una singola funzione ai fini del calcolo »(Caos di

La coppia di formule che trovò, fu la seguente:

La figura risultante assomigliava ad una specie di banana costituita da più linee. La caratteristica più

sorprendente tuttavia era rappresentata dal fatto che quelle linee che apparivano uniche, se ingrandite, erano in

realtà costituite da due linee distinte, che a loro volta, ad ingrandimenti maggiori, diventavano quattro, otto,...

Anche in questo caso dunque, come con l'attrattore di Lorenz, infinite linee distinte l'una dall'altra giacciono in

uno spazio ben confinato. Mentre però con quello di Lorenz venivano utilizzate equazioni differenziali, dunque

con differenze continue, le equazioni dell'attrattore di Hènon hanno differenze finite, variazioni discrete nel

tempo. Attrattore di Hènon 11

3. Mappa di Poincaré

In matematica, e più precisamente nell'ambito dei sistemi dinamici, una mappa di primo ritorno o mappa di

Poincaré, così chiamata in onore di Henri Poincaré, è l'intersezione di un'orbita periodica nello spazio delle fasi di

un sistema dinamico continuo con un particolare sottospazio di minor dimensione, chiamato sezione di

Poincaré, trasverso al flusso del sistema. Più precisamente si considera un'orbita periodica con origine sulla

sezione di Poincaré e si osserva il punto nel quale l'orbita reinterseca per la prima volta la sezione, da cui il

nome di mappa di primo ritorno. La trasversità della sezione di Poincaré significa che le orbite periodiche che si

originano nel sottospazio lo attraversano invece di scorrere parallele a questo.

Definizione

M, M

Sia (R, φ) un sistema dinamico globale, con R insieme dei numeri reali, lo spazio delle fasi e φ la funzione

p S

di evoluzione. sia γ un'orbita periodica attraverso un punto ed la sezione localmente differenziabile e

p p.

trasversale di φ attraverso chiamata sezione di Poincarè attraverso

U p

Dato un intorno aperto e connesso di , una funzione S p

è chiamata mappa di Poincarè per l'orbita γ sulla sezione di Poincarè attraverso il punto se

P(p) =p

• P(u) p P(U)

è un intorno di e è un diffeomorfismo

• x U, x S P(x)

per ogni punto in la semiorbita positiva di interseca per la prima volta in

• S, P x P(x).

Nella sezione di Poincaré la mappa di Poincaré proietta il punto nel punto

Mappe di Poincarè ed analisi di stabilità

Le mappe di Poincarè possono essere interpretate come un sistema dinamico discreto. La teoria di stabilità di