Frattali, tesina

Applicazioni frattali pag. 6

La fisiologia umana è frattale pag. 7

Rapporto frattali e scienza pag. 8

Bibliografia

“The Human Genome in 3 Dimensions”

Frattali & natura - Daniel Barthe

Frattali &natura – Benoit Rittaud

Arte frattale – Daniel Barthe

Frattali utili – Raquel Azran

Mandelbrot & Julia – Willy Payet 1

Frattale metafora della corrispondenza tra microcosmo e macrocosmo

La teoria del microcosmo e del macrocosmo, due concetti che si riferiscono a un insieme

indivisibile,un'unità in cui le singole parti (microcosmo) sono in relazione al tutto (macrocosmo) è

stata sostenuta fin dall'antichità. Questa terminologia fu utilizzata per la prima volta dal filosofo

Democrito che afferma “l'uomo è un piccolo microcosmo”, ovvero uno specchio e una sintesi

dell'intero universo. Una tematica, che in realtà, circola in tutta la filosofia presocratica, sostenuta

da Anassimene, Empedocle e poi,dopo Socrate, da Platone. Il microcosmo è identificato con

l'uomo, quest'ultimo inteso come una componente di un'unità universale e globale, mentre con il

macrocosmo si identifica l'intero universo.

Con la nascita del metodo scientifico si è cercato, in modo sistematico, un legame descrittivo dei

vari fenomeni della natura, per analizzarli e descriverne le leggi.

“La filosofia è scritta nel grandissimo libro che è l'universo in una lingua matematica i cui

caratteri sono triangoli,cerchi e altre figure geometriche, senza queste è un agitarsi in uno

oscuro labirinto”-Galileo Galilei

A più di 3 secoli di distanza, nel 1975, Benoit Mandelbrot pubblica il libro "Les objets fractals" in

cui, riprendendo la celebre frase di Galileo sull'esistenza di una geometria della natura, commenta:

“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a

descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica,

oppure oggetti perfettamente cilindrici, mentre osservando la natura vediamo che le montagne non

sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono degli oggetti

geometricamente molto complessi.”

Questa osservazione introduce la geometria frattale, una recente branca della matematica che nasce

come nuovo linguaggio di descrizione delle complesse forme della natura, come gli alberi, ad

esempio, o i cavolfiori.

Agli inizi del XX secolo, alcuni matematici avevano ideato curve e figure molto strane che

sovvertivano le regole della Geometria classica, violavano le caratteristiche di armonia considerate

naturali per gli oggetti in campo scientifico,come ad esempio una linea tutta spigoli (il merletto di

Koch), figure bucherellate (gerla di Sierpinski), figure geometriche “complesse” costruite mediante

un processo iterativo. Queste figure avevano in genere lo scopo di produrre controesempi, cioè

servivano a mettere in luce i limiti descrittivi delle strutture assiomatiche classiche. Solo grazie a

Mandelbrot i mostri matematici, relegati negli armadi, furono spolverati e rimessi in moto

acquistando la nuova veste di antenati delle moderne figure frattali. Per dirla in modo semplice, i

frattali sono nati recuperando pezzi separati pre-esistenti, ma concepiti in contesti limitati e distinti.

Dopo il rivoluzionario intervento di Mandelbrot, i matematici furono sorpresi e compiaciuti nello

scoprire che le loro figure fossero diventate la chiave di lettura della complessità tanto a lungo

cercata. Negli ultimi venti anni i modelli frattali sono usciti allo scoperto, acquistando il ruolo della

struttura chiave nella modellizzazione matematica in tutti i settori: dalle scienze naturali a quelle

economiche e sociali, dalla fisiologia alla tecnologia avanzata e il loro campo di applicazione è in

costante crescita. 2

Il frattale di Mandelbrot

“Un frattale è un oggetto irregolare, la cui irregolarità

è la stessa a tutte le scale e in tutti i punti”

Adrian Douaday

Mandelbrot definisce così il frattale: "Figura

geometrica o oggetto naturale con una parte della sua

forma o struttura che si ripete a scala differente, con

forma estremamente irregolare interrotta e

frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti

di molte dimensioni differenti".

Il termine frattale deriva dal latino “fractus”, ovvero

"spezzato, irregolare" in quanto, gli oggetti frattali

hanno un'apparenza frastagliata che non viene meno

anche se si sottopongono a successivi ingrandimenti.

Grossolanamente si possono descrivere come figure

in cui un motivo identico si ripete su scala

Illustrazione 1: frattale di Mandelbrot continuamente ridotta. Infatti ingrandendo la figura

si ottengono forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivela nuovi dettagli, contrariamente alle

figure geometriche "classiche" che tendono a "rettificarsi" quando sono ingrandite.

Un frattale possiede due caratteristiche fondamentali, l'auto-similarità e la dimensione non intera.

Auto-similarità. I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica

peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di

partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in

scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare

qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo. Questo fatto ci permette di

riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici istruzioni da ripetersi più

volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe, con le metodologie

tradizionali, centinaia di valori numerici.

Dimensione non intera. I frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre

dopo la virgola.

Questo nuovo linguaggio introduce, attraverso processi iterativi, una “dinamica” nel modello

descrittivo della geometria Euclidea. Così, mentre gli elementi del “linguaggio tradizionale” si

visualizzano con facilità, i processi frattali richiedono l'ausilio di un computer. Gli oggetti frattali

fanno quindi parte della “matematica moderna” che si avvale in modo determinante delle tecnologie

informatiche. I frattali vengono creati attraverso dei processi iterativi. Si parte da una figura start, si

applica ad ogni passo una o più trasformazioni geometriche composte tra loro ripetutamente,

ricorsivamente. Qualunque sia la figura di partenza, se applico il codice genetico del frattale,

ottengo quel tipo di frattale. Cambiando l'insieme di partenza, il risultato finale non cambia. Questo

è un risultato generale, valido per qualsiasi frattale. Possiamo concludere dicendo che il frattale

ottenuto non dipende dall'insieme di partenza ma solo dalle trasformazioni geometriche. Anche il

numero di punti di partenza è assolutamente irrilevante: partendo da un solo punto, il risultato finale

non cambia. 3

Nonostante molte persone non sappiamo cosa siano i

frattali, questi sono presenti nella nostra

quotidianità; ad esempio, quando andiamo a far la

spesa, i broccoli e i cavolfiori possono rappresentare

un esempio di frattali. Basta tagliare una parte del

cavolfiore e accorgersi che quest'ultima è identica al

tutto, ma con dimensioni inferiori.

Inoltre anche il cervello, l'intestino o le viscere di

alcuni animali,in genere, hanno configurazione

frattale, presentando volume finito ma superficie

infinita; l'ultima loro cellula possiede tutte le

informazioni dell'intero corpo. Una tale

Illustrazione 2: cavolfiore configurazione risponde ad una necessità della

natura di ottimizzare una superficie di scambio conservando un piccolo volume.

Caratteristiche frattali si manifestano anche nel mondo vegetale con i motivi di certi fiori

( viole del pensiero, iris, tulipani) o con i loro ritagli floreali. D'altra parte basta osservare il sistema

delle radici di piante e alberi o le inflorescenze di certe orchidee, o i tentacoli di una piovra: basta

vedere le iridescenti disposizioni, con ripetizioni di occhi, della pelle di certi serpenti o i parametri

delle farfalle per rendersi conto che si vedono frattali dappertutto.

Una delle prime forme frattali individuate in natura è stata quella della

costa della Bretagna.

La sua natura frattale è stata identificata cercando di misurarne la

lunghezza. Nel 1967, Mandelbrot pubblica un articolo sulla rivista

“Science”, il cui titolo sembra essere una domanda infantile “ Qual è la

lunghezza della Bretagna?”

Per rispondere è necessario precisare cosa si deve intendere per

“lunghezza” di una curva.

La nozione di lunghezza si basa sull'idea di linea poligonale

interpolante: data una curva C, una linea poligonale interpolante è un

insieme finito di segmenti consecutivi, in cui tutti gli estremi si trovano

sulla curva C e avanzano su tale curva. Si impone anche che il primo

estremo del primo segmento e il secondo dell'ultimo coincidano con gli

estremi della curva C.

Non è difficile dare un senso alla lunghezza di una linea poligonale P: è

sufficiente fare la somma delle lunghezze dei segmenti che la

costituiscono,ma in ogni caso, la lunghezza finale risulterà talmente grande da potersi, senza

inconvenienti pratici, considerare infinita.

Quando, in seguito, vorremo confrontare i “contenuti” di coste differenti, non potremmo fare a

meno di introdurre diverse forme di un concetto matematico che tutti pensavano senza applicazioni

concrete: il concetto di dimensione frattale. 4

Storia arte: la funzione dei frattali diventa forma d’arte

Sin dalla preistoria, l’uomo ha sempre cercato dei rapporti nella rappresentazione degli oggetti.

Il più intuitivo è sicuramente la simmetria: infatti, sono state ritrovate alcune sfere paleolitiche

caratterizzate da un precoce interesse per la simmetria delle forme. La ricerca di un rapporto

proporzionale perfetto ha poi pervaso tutta la storia dell’arte successiva. L’esempio più comune di

simmetria è quello dei greci; quest’ultimi, infatti, vedevano nella simmetria la ricerca di una

bellezza superiore e ideale (fino a renderla quasi una mania): i rapporti matematici, infatti,

riguardavano non soltanto il rapporto tra gli elementi di un tempio, ma anche di una semplice

anfora. Dal Quattrocento, con l’istituzione delle accademie e la sistematizzazione della

divulgazione matematica, iniziarono i primi studi di prospettiva (Paolo Uccello e Michelangelo).

Nel Novecento, si deve citare il lavoro di Mondrian – i cui quadri possono essere riprodotti