Frattali - Tesina per Istituto Tecnico Commerciale

In matematica l'esempio piu semplice di frattale è la cosiddetta "curva di Koch", vi

propongo questo esempio in particolare in quanto il suo sviluppo nella forma finale ci

ricorda un elemento appartenente al mondo naturale, ovvero una forma che può essere

ricondotta alla struttura di un fiocco di neve.

La cosiddetta curva di koch si parte da una linea semplice e su spezza in quattro

segmenti, ripetendo poi questo procedimento per ogni nuovo segmento, infatti ogni

iterazione che vediamo è la ripetizione dell’ algoritmo iniziale.

Un latro esempio è il cosiddetto “albero frattale”, che vede la generazione di una forma

simile a quella di un albero, ripetendo ogni ramo inclinandolo di + o – 45 gradi

diminuendo la grandezza dei rami minore della metà.

Cosi possiamo passare alla prima parte della tesi:

Applicazione della matematica frattale alla natura,

citando di nuovo Mandelbrot, quando gli fu posta la domanda:

"A cosa servono i frattali?"

Lo stesso matematico rispose che i frattali servivano a descrivere le nuvole.

Infatti se prendiamo spunto dal mondo naturale troviamo numerosi esempi di auto-

similitudine come ad esempio:

Cavolfiori

Felce

Con le sue teorie, Mandelbrot fornisce agli scienziati odierni un nuovo metro per misurare

ed esplorare il mondo naturale e le sue forme geometriche, senza criticare la geometria

classica (Euclidea), ma soltanto dimostrare come essa non riesca a rappresentare

determinati aspetti della realtà.

La teoria frattale non è solo applicabile nel campo scientifico e matematico ma negli

ultimi tempi ha trovato numerose applicazioni:

-Nella musica in quanto è possibile associare una rappresentazione sonora alle funzioni

matematiche che compongono i frattali.

-Nell’' animazione digitale dove essa ha trovato molti riscontri nella computer-grafica

Possiamo inoltre notare come i frattali siano presenti in arte anche precedentemente ai

dipinti dei Frattalisti, movimento nato nel 1997.

Infatti la pittura di uno dei massimi esponenti dell' impressionismo francese ci riconduce

ai principi della teoria frattale in particolare la tecnica pittorica da lui creata:

L'artista in questione è Georges Seurat (1859-1891)

Si può considerare come il pittore che porta alle estreme conseguenze la tecnica pittorica

impressionista.Partendo dalla questione sollevata già da altri appartenenti al movimento

come ad esempio Manet, di cercare una maggiore luminosità e brillantezza dei colori

posti sulla tela, risolta con il ricorso a colori puri non mescolati.Seurat volle dare una

nuova risposta a questo problema basandosi sulla tecnica della mescolanza ottica per

giungere a risultati di massima brillantezza,il principio era già conosciuto ai pittori

impressionisti, ma fu l'unione tra la tecnica e le teorie del chimico francese Chevreul,

secondo le quali l'accostamento di due colori complementari esalterebbe le qualità

luminose di entrambi a far formulare all' artista la propria tecnica pittorica.Essa si basava

sulla capacità di risoluzione dell' occhio umano, che porta ad elaborare una distinzione tra

due punti distanti tra loro almeno che essi non siano troppo piccoli per essere distinti in

modo chiaro e preciso. La lontananza del punto di osservazione e la piccolezza dei puntini

di colori dipinti da Seurat costringono l'osservatore ad elaborare la somma dei due colori

in un unica macchia cromatica dovuta all'accostamento dei due.In questo modo secondo

le teorie del pittore un occhio osservando dei puntini blu e gialli ne elaborerà un verde più

brillante di uno ottenuto dalla mescolanza dei due pigmenti.I puntini stessi furono la

novità tecnica della pittura di Seurat, egli realizzò numerosi quadri accostando puntini di

colori primari trasmettendo un' indubbia suggestione creando un nuovo stile il

Puntinismo.

Nella sua tecnica pittorica possiamo ritrovare analogie con la teoria frattale, in quanto

analizzando in profondità il dipinto, in particolare la distribuzione del colore e la

ripetitività geometrica dei puntini, ci accorgiamo che esse seguono uno schema ripetitivo

come avviene nelle figure frattali secondo la caratteristica fondamentale dell' auto-

somiglianza.

Le applicazione dei frattali nel mondo moderno non finiscono qui, infatti è aumentato

molto l'utilizzo delle funzioni matematiche derivanti dai frattali in economia in particolare

per determinare l'andamento dei mercati.

Frattali nell' economia,

Da sempre gli economisti hanno cercato di controllare l'andamento e l'oscillazione dei

mercati tramite le funzioni della matematica economica, ma con scarsi risultati in quanto

le leggi economiche e statistiche, che pongono le percentuali secondo le quali le

probabilità degli eventi vengono trascurate in base ad un calcolo matematico

approssimativo, vede un raffronto negativo rispetto alle recenti applicazioni della teoria

dei frattali nel mondo economico.

Basandosi sulla caratteristica dell' auto-similarità dei frattali possiamo notare un riscontro

nei grafici giornalieri con diverse misure temporali, infatti seguendo quest'idea ci

troviamo d'innanzi al paradosso di un mercato prevedibile e ripetitivo a contrasto con le

teorie economiche esistenti, ne è un esempio le similarità tra i grafici dell’ attuale crisi

economica ed il crollo della borsa del 1929.

Durante il periodo successivo al primo conflitto mondiale gli Stati Uniti videro un forte

sviluppo economico, che portò all' aumento dei consumi di massa, della produttività

(Taylorismo & Fordismo) dei redditi, dei salari e vide l'indice di Wall Street raddoppiare il

suo valore grazie alla grande richiesta di titoli e pacchetti azionari. Il periodo di prosperità

cessò il 24 ottobre del 1929 quando una leggera inflessione della borsa vede la vendita di

grandi pacchetti azionari per paura di una svalutazione del loro prezzo sancendo cosi un

ribasso dell' indice ed un effetto domino che portò al crollo della borsa

Basandoci sulle teorie di Mandelbrot analizzando i grafici vediamo , secondo la teoria

frattale, un andamento similare nei due pezzi di serie storica, in particolar modo nel

confronto frattalico e previsivo, ma sono anche evidenti le somiglianze di tipo tecnico.

Considerando i dati di una certa serie storica ed applicando la teoria frattale ed

ottenendo cosi un frattale molto semplice (dovuto al rapporto 1:1 dei due

grafici).Possiamo cosi individuare il vero scopo dell’ applicazione dei frattali

nell’economia, individuare le somiglianze col passato per prevedere il futuro, basandoci

sull’idea di una ciclicità della storia.

Infine possiamo definire la scoperta eseguita da Mandelbrot una delle più importanti dello