Farfalle e uragani

Figura 5: I vortici cilindrici di fluido che si formano nella scatola riscaldata sul fondo

I vortici sono dovuti al flusso di calore che passa dalla parte inferiore a quella

superiore della scatola: basta ridurre a zero la differenza di temperatura perché i

vortici scompaiano. Il sistema dinamico <<fluido contenuto in una scatola>> è quindi

aperto e dissipativo. Infatti, il sistema è aperto perché riceve energia sotto forma di

calore da una sorgente esterna. È dissipativo perché, rimuovendo la sorgente, i

vortici dissipano la proprio energia cinetica e scompaiono.

Considerando il fluido nella scatola riscaldata, ci si aspetterebbe un moto dei

vortici regolare e costante. Lorenz scoprì che, invece, non accade: i sensi di

rotazione dei vortici cambiano senza causa apparente, alternandosi senza alcuna

periodicità.

Per descrivere i fenomeni che coinvolgono uno dei vortici cilindrici, Lorenz usò tre

grandezze:

• la velocità x di rotazione del cilindro;

• La differenza y di temperatura tra le correnti ascendenti e discendenti del

cilindro, misurata lungo l’intersezione del cilindro con il piano mediano, come

mostrato in figura 6 (riportata alla pagina successiva);

• Lo scostamento z tra l’andamento effettivo della temperature con l’altezza e

l’andamento lineare atteso nel modello più semplice. 17

Queste tre variabili sono funzioni del tempo t e definiscono lo spazio delle fasi

tridimensionale del sistema <<vortici di Lorenz>>.

Figura 6: Misura della differenza y di temperatura

Le tre equazioni della fluidodinamica che governano il sistema << vortici di Lorenz>>

possono essere ricavate dal secondo principio e contengono, oltre alle tre grandezze

1

e anche tre parametri numerici (A,B e C) , che dipendono dal fluido e dallo

x,y z,

spazio delle fasi del sistema. Esse furono scritte da Lorenz nella forma:

∆ = ( − )∆

=( )∆ (1)

∆ − −

=( )∆

∆ −

1 Il parametro A è il rapporto tra la viscosità del fluido e la sua conducibilità termica, Lorenz scelse A=10. Il parametro

B dipende dalla differenza di temperatura tra le due facce della scatola; per valori superiori ad un certo numero critico

si passa dal regime stazionario a quello vorticoso. Lorenz scelse B=20. Infine C è il rapporto tra larghezza e altezza della

scatola, che Lorenz prese uguale a 8/3. 18

COMPORTAMENTE CAOTICO DEL SISTEMA DI LORENZ:

Le equazioni di Lorenz sono non lineari perché contengono (oltre a termini

proporzionali a e i termini e in cui compaiono i prodotti di due variabili.

x,y z) xz xy,

È possibile però risolvere numericamente procedendo in modo iterativo:

1. Si sceglie un intervallo di tempo molto piccolo, per sempio = 0,001;

∆ ∆

2. Si scelgono tre valori iniziali per le variabili (x , y , z );

0 0 0

3. Si calcolano i tre membri a destra dell’uguale nelle equazioni (1) e si ricavano

, );

le variazioni (∆x ∆ ∆z

0 0, 0

4. Si ottengono i valori delle tre variabili al tempo t =∆ :

= + ∆ , = + ∆ , = + ∆

,y ,z ) per calcolare i secondi membri

A questo punto si ricomincia e si ha una (x 1 1 1

delle tre equazioni, ricavando (x ,y ,z ) al tempo ; e così via.

= 2∆

2 2 2

SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI:

I risultati sono molto sensibili alle condizioni iniziali, come mostrato nella figura 7

(nella pagina seguente), dove è rappresentato l’andamento della variabile velocità x

in funzione del tempo. Al solito, è stato calcolato numericamente il valore della

grandezza e poi si sono uniti i punti con una

x curva spezzata.

Le due curve (rossa e blu) corrispondono a una differenza nei valori iniziali della

variabile pari a una parte su un milione:

y

( = 8,000000, = 1,000000, = 1,000000) curva blu

( = 8,000000, = 1,000001, = 1,000000) curva rossa 19

La velocità di rotazione del vortice del cilindro può essere un numero positivo o

x

negativo, a seconda del verso.

Figura 7:Le velocità di rotazione dei vortici cilindrici in funzione del tempo

Per la scelta delle condizioni iniziali, il cilindro comincia a ruotare in un verso che

chiamiamo <<positivo>> (antiorario), ma passa immediatamente al verso

<<negativo>> (orario) e continua a girare in questo senso, mentre il modulo della

sua velocità di rotazione oscilla con ampiezza crescente. Per 18 volte si alternano

rotazioni sempre più veloci a rotazioni sempre più lente, tutte nello stesso verso. A

metà della diciannovesima oscillazione la velocità si riduce a zero e il senso di

rotazione si inverte.

Da questo istante in poi il vortice cambia senso di rotazione spesso, in modo

apparentemente casuale, anche se determinato dalla scelta delle condizioni iniziali,

come si vede dalle differenze tra le curve blu e rossa in figura. 20

ATTRATTORE DI LORENZ IN TRE DIMENSIONI:

Le seguenti figure mostrano l'attrattore di Lorenz in uno spazio tridimensionale e

le rispettive proiezioni su i piani XZ, YZ, XY.

Figura 8: Proiezione dell'attratore di Lorenz

Figura 9: Due viste in tre dimensioni dell'attratore di Lorenz 21

Figura 10: Attrattore di Lorenz su tre piani differenti simulato al computer

Cambiando di poco le condizioni iniziali, la traiettoria, esaminata da vicino, è

diversa ma la figura geometrica nel suo insieme, l’attrattore di Lorenz, rimane la

stessa. Notiamo che un attrattore strano può esistere soltanto in uno spazio delle

fasi con dimensioni uguali o maggiori di tre. In uno spazio bidimensionale esistono

solo attrattori normali: in due dimensioni, infatti, una traiettoria complessa può

evolvere soltanto in un ciclo limite (moto periodico) oppure in un punto.

Per concludere, osserviamo che il sistema <<vortici di Lorenz>> può manifestare

un comportamento caotico o non caotico, a seconda dei valori assegnati ai

parametri A,B e C: in alcuni casi la traiettoria si adagia su un attrattore normale,

altre volte converge verso un punto fisso; per altri valori dei parametri la traiettoria

segue un attrattore strano. 22

Figura 11: Esempio di ciclo limite

Il modello dei vortici di Lorenz è relativamente semplice e non adatto a descrivere i

fenomeni meteorologici. Esso permette però di analizzare come piccole variazioni

dei parametri influiscano drasticamente su di un sistema anche elementare,

lasciando intuire alcuni meccanismi

mecc anismi alla base del funzionamento del clima. 23

EFFETTO FARFALLA

La proiezione dell’attrattore di Lorenz tridimensionale sul piano ha una

xz

caratteristica forma a farfalla, che è diventata l’icona del caos deterministico.

Figura 12: Proiezione dell'attrattore di Lorenz sul piano xz

Nell’articolo originario pubblicato nel 1963 Lorenz utilizzò l’immagine del gabbiano:

Only meteorologist remarked that if the theory were correct, one flap of a

seagull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.

(Un meteorologo osservò che, se la teoria era corretta, un battito d’ali di un

gabbiano basterebbe ad alterare il corso del clima per sempre.) 24

Circa dieci anni dopo lo stesso Lorenz abbandonò il gabbiano e rese celebre la

farfalla, nel quadro della discussione della fisica del caos, tenendo nel 1972 la

famosa conferenza già prima citata. L’emblema della farfalla entra quindi due volte

nell’immaginario del caos deterministico, generando talvolta confusione: la forma

dell’attrattore e il nome della conferenza del 1972.

Il comportamento di sistemi soggetti a caos deterministico è spesso descritto come

<<effetto farfalla>>, intendendo con questo l’estrema sensibilità alle condizioni

iniziali, senza alcun riferimento alla forma dell’attrattore. 25

26

II

Fenomeni Atmosferici

Sistemi caotici o ordine imperscrutabile? 27

IL VENTO E L'UOMO

Come tutte le forze della natura, il vento è stato fin dagli inizi dell’umanità un

fattore di primaria importanza per la nascita delle civiltà umane. Nel corso dei secoli

poi, con le prime navigazioni, i fenomeni atmosferici sono diventati sempre più

all’ordine del giorno per chi volesse avventurarsi in mare con una piccola

imbarcazione. Trovarsi nel mezzo di una tempesta non era certo l’obiettivo di alcun

marinaio, ma allo stesso tempo la navigazione necessitava di venti favorevoli, e

temutissima era la bonaccia, l’assenza completa di venti in mezzo al mare. Inoltre

era lo stesso vento che affondava le incaute imbarcazioni a portare fertilità e calore

alle coste, ad impollinare i fiori e a continuare il ciclo vitale della terra.

Figura 13: La Torre dei Venti ad Atene

Proprio per questa sua ambiguità e la sua vitale importanza nella vita dell’uomo,

nei popoli primitivi il vento è stato identificato con divinità, che spesso giocano un

ruolo primario nei miti della creazione. Particolare importanza ricoprivano i venti

nella cultura greca. Nella mitologia primitiva dei Greci il dominio dei venti era diviso

fra i quattro figli di Eos, l’aurora, e Astreo, il cielo stellato. Erano Borea, il vento del

nord, Zefiro, il vento dell’ovest, Euro, il vento dell’est, e Noto, il vento del sud.

Tale partizione, che faceva corrispondere ad ognuno dei quattro venti una

direzione assoluta, nel corso dei secoli si rivelò però troppo approssimativa per una

buona navigazione e i marinai cominciarono a suddividere ulteriormente le 28

partizioni tramandate dalla tradizione. Tale nuova suddivisione è rappresentata dalla

Torre dei Venti, un edificio ottagonale costruito ad Atene, nel demos della Plaka , da

Andronico di Cirro tra il 100 e il 50 a.C. La torre si conserva ancor oggi e si possono

vedere scolpiti nel marmo otto dei alati , cioè gli otto venti importanti, che volano

intorno alla Torre in senso orario. Nell’ordine: Borea, il Nord; Skiron, il nord-ovest;

Zefiro, l’ovest, che porta dei fiori a indicare la sua acquisita funzione benefica; Lips, il

sud-ovest; Noto, il sud; Euro, il sud-est; Apeliotes, l’est, che con un cesto di frutti in

mano rappresenta la stagione estiva; Kaikias, il nord-est, rappresentato come

robusto e poco amichevole per la sua impetuosità.

Nel corso dei secoli le suddivisioni aumentarono fino a diventare le trentadue

raffigurate sulla rosa dei venti, che compare per le prime volte sulle carte nautiche

portoghesi del Tredicesimo secolo. Giungendo ai nostri giorni, dopo queste

esemplificazioni mitico storiche, il vento ha di certo perso l’aura mitica che lo ha

caratterizzato nel corso dei secoli. Resta però la consapevolezza che sia la più

bizzarra, mutevole e capricciosa tra le forze della natura, per chi lo studia; ma per

chi è soggetto alle sue bizze, o alle sue forze benefiche, assume una fisionomia

autonoma, quasi personale.

Ci addentriamo quindi nell’analisi di questo fenomeno alla ricerca di scoprirne le

cause, le manifestazioni moderate come quelle violente, tenendo come quesito

fondamentale questo: “Si può arrivare alla conoscenza e alla previsione perfetta di

tale fenomeno? Si potrà forse farlo in futuro?”. 29

ARIA ED ATMOSFERA

Per addentrarci nella conoscenza dei fenomeni atmosferici nelle loro peculiarità

dobbiamo prima fare un passo indietro, per acquisire alcune conoscenze necessarie

alla comprensione di queste manifestazioni della natura. Mi propongo di fare una

breve trattazione dell' aria, l’elemento primario dell’atmosfera terrestre, il “luogo”

dove tali fenomeni si manifestano.

Il concetto di aria era già chiaro all’alba della trattazione filosofica greca. Per

Anassimene l’aria era l’elemento fondamentale, l’archè della natura e l’essenza di

ogni cosa. Empedocle la inseriva invece in un disegno più grande di Teoria degli

Elementi, o radici: Acqua, Fuoco, Terra ed Aria. Questa teoria, sistemata poi da

Aristotele nella forma delle quattro sfere sopra cui si poneva quella dell’etere,

sopravvisse anche nel mondo successivo, fino a permeare anche la concezione

cosmologica dantesca della Divina Commedia.

Questo tuttavia rimaneva soltanto un concetto filosofico. Studi scientifici

sull’elemento aria vennero eseguiti solo in epoche piuttosto recenti. I primi ad avere

un approccio moderno su tale elemento furono Joseph Black (1728-1799), che nel

1750 scoprì l’esistenza dell’anidride carbonica e ne mostrò i processi di produzione