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Matematica: geometrie non euclidee
Arte: Escher, il limite del cerchio
Fisica: relatività ristretta
Letteratura francese: Bergson, Prust
Letteratura italiana: Pirandello, la lanterninosofia
LA CRISI DEI FONDAMENTI
Spazio e Tempo categorie relative
tutto è relativo. Prenda un ultra
“… centenario che rompe uno
specchio: sarà ben lieto di
sapere
che ha ancora sette anni di
disgrazie ...“
Emanuel
LA CRISI DEI FONDAMENTI
Con crisi dei fondamenti si indica il dibattito che ha coinvolto la
comunità dei matematici e dei filosofi tra la fine dell’800’ e i primi
decenni del 900’ investendo la scienza classica e dunque le nozioni
di spazio e tempo.
SPAZIO TEMPO
Cause della crisi
Profondi cambiamenti
della matematica
La fede nel progresso
lineare della società La scienza
si dissolve Nuova
Nuova è costretta
collaborazi
collaborazi a limitare le
one tra
one tra proprie
Crisi del positivismo scienza e
scienza e
e del meccanicismo competenz
filosofia
filosofia e.
Si manifestano
esigenze spirituali più
complesse
La ricerca dei fondamenti
KANT: Data l’esistenza di una scienza bisogna scoprire
KANT: Data l’esistenza di una scienza bisogna scoprire
quali principi la rendono possibile.
quali principi la rendono possibile.
Che cos’è la
matematica??
La matematica non è una scienza naturale, ma una creazione
dell’intelletto umano. Gli scienziati iniziarono dunque a considerare la
matematica come una forma di pensiero assiomatico, in cui a partire da
premesse arbitrarie si traggano conclusioni valide, sia che i postulati
siano veri in senso scientifico, sia che siano falsi.
Come distinguere
Come distinguere
Pluralismo: affermarsi di modelli diversi e
dottrine scientifiche da
dottrine scientifiche da
incompatibili all’interno delle diverse
dottrine non
dottrine non
discipline scientifiche??
scientifiche??
Che cos’è la Il criterio di Le scoperte
scienza? demarcazione scientifiche
tra scienza e
non scienza
Neopositivismo Un sapere La verificabilità Si ottengono per
empirico induzione a
partire dai fatti
Popper Un sapere La falsificabilità Sono prodotte
congetturale dallo scienziato,
a partire da
un’intuizione
creativa
Khun Un modello Non è un Nascono con
sostenuto da un problema rivoluzioni
paradigma rilevante scientifiche
e geometrie non euclide
Nell’ Ottocento la geometria si configurava kantianamente come una
scienza sintetica a priori. I matematici facevano ancora fede agli
Elementi di Euclide, ma l’opera non era abbastanza rigorosa e
presentava alcune contraddizioni. In particolare emergeva il problema
del 5° postulato.
Se due rette tagliate da una
Se due rette tagliate da una
trasversale formano angoli
trasversale formano angoli
interni la cui somma è minore di
interni la cui somma è minore di
2 archi retti, allora tali rette
2 archi retti, allora tali rette
prolungate all’infinito da quella
prolungate all’infinito da quella
parte si incontreranno
parte si incontreranno
Ma la forma è quella di un teorema!!
Ma la forma è quella di un teorema!!
Vedere cosa
succede alla
Tentare di geometria
dimostrare il euclidea
teorema senza questo
postulato
GEOMETRIA
GEOMETRIA ELLITTICA IPERBOLICA
(Non esiste nessuna parallela) (Esistono infinite parallele)
Geometria ellittica:
modello di Riemann (1826-1866)
•
punto P
: un qualunque punto sulla superficie della sfera;
•
retta r
: un qualunque diametro (circonferenza massima) della superficie
sferica;
•
piano: insieme dei punti della superficie sferica.
Nella geometria iperbolica si nega l’esistenza della retta
Nella geometria iperbolica si nega l’esistenza della retta
parallela ad una retta data condotta da un punto esterno ad
parallela ad una retta data condotta da un punto esterno ad
essa. Infatti due rette sulla sfera di Riemann si intersecano in
essa. Infatti due rette sulla sfera di Riemann si intersecano in
2 punti (diametralmente opposti)
2 punti (diametralmente opposti)
Geometria iperbolica:
Modello di Klein (1849-1925)
s
P r
•
punto: un qualunque punto P, interno a T;
•
retta: un qualunque corda privata degli estremi (esempio: retta r o
la retta s)
•
piano: l’insieme dei punti interni a T (esclusa quindi la
circonferenza)
• incidenti
due rette (di Klein) si dicono se hanno in comune un
punto
• parallele
due rette (di Klein) si dicono se hanno in comune un
punto di T
GEOMETRIA IPERBOLICA
Modello di Poincarè (1854-1912) T
s
0.5 P r
P r P
0.5 s
r s
•
Punto
: un qualunque punto P, interno a T;
•
Retta
: un qualunque diametro privato degli estremi (ad esempio la retta
r) di T arco di circonferenza
oppure un interno a T e ortogonale a esso (ad
esempio la retta s);
•
Piano : l’insieme dei punti interni a T;
• incidenti
Due rette (di Poincaré) si dicono se hanno in comune un punto.
• parallele
Due rette (di Poincaré) si dicono se hanno in comune un punto
Escher
Le opere dell’artista grafico Escher ci offrono un esempio di
geometria iperbolica. Egli utilizza concetti matematici per
concretizzare il desiderio dell’artista di rappresentare “l’infinito”.
Degli archi di circonferenza bianchi si
dividono intersecandosi in parti,
ognuna delle quali ha la lunghezza di
un pesce. Queste, inoltre marcano le
corsie sulle quali si muovono delle file
di pesci dall’infinitamente piccolo,
passando alla grandezza massima,
all’infinitamente piccolo.
Relativi
tà
GALILEI MAXWELL
MAXWELL
VS
ETERE
ETERE La luce è un onda
Relatività classica : le elettromagnetica
leggi della meccanica che si propaga con
sono le stesse in tutti i velocita costante
sistemi di riferimento C=300.000 Km/s.
inerziali, qualunque sia EINSTEIN
la velocità (costante) (1905)
con cui essi si muovono
gli uni rispetto agli altri.
LA RELATIVITA’ RISTRETTA
Le leggi della fisica
Le leggi della fisica
sono le stesse per tutti
sono le stesse per tutti
gli osservatori in moto
gli osservatori in moto
inerziale.
inerziale.
La velocità della luce
La velocità della luce
c è costante (3 · 10 8
c è costante (3 · 10 8
m/s) per tutti gli
m/s) per tutti gli
osservatori
osservatori
Da spazio-e-tempo a spazio-tempo: 4
dimensioni
La simultaneità
Due eventi possono essere giudicati simultanei da un
osservatore, e possono essere invece giudicati non
simultanei da un altro osservatore in moto uniforme
rispetto al primo.
Punto di vista
interno
Punto di vista
esterno
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