Caos deterministico

“Effetto farfalla: nascita e

ripercussioni”

La teoria del caos, soprannominata talvolta “effetto farfalla”. Il battito d’ali di una farfalla

può realmente provocare un uragano a migliaia di chilometri di distanza? La risposta è sì, e

accade in continuazione.

Nel 1792 Edward Lorenz, il pioniere delle ricerche sul caos, doveva tenere un seminario alla

conferenza della American Association for the Advancement of Science, ma non era riuscito a

trovare un titolo. Fu il coordinatore della sua sessione, il meteorologo Philip Merilees, che finì

per avere un’idea. In un articolo di nove anni prima aveva citato il commento sprezzante di un

meteorologo sulla teoria del caos: costui aveva detto che se la teoria fosse stata giusta, “un

battito d’ali di un gabbiano avrebbe potuto cambiare per sempre il corso del clima”. A quanto

pare la frase era rimasta impressa nella memoria di Merilees, che ne elaborò una variante: fu

così che nacque la classica frase, che fu proprio il titolo della conferenza: “Il battito d’ali di

una farfalla in Barisile può scatenare un tornado in Texas?”

La definizione ufficiale dell’”effetto farfalla” è “dipendenza sensibile dalle condizioni

iniziali”. L’idea di fondo è che quasi tutti i sistemi che cambiano in funzione del tempo

evolveranno in maniera radicalmente diversa non appena si introduca la più piccola

variazione nel punto di partenza. Le conseguenze di un’osservazione tanto semplice sono così

vaste da aver dato origine a un campo di ricerca completamente nuovo.

Le ripercussioni della teoria del caos si sono fatte sentire in ogni branca della scienza. Dalla

dinamica dei pianeti alla diffusione delle epidemie nella popolazioni, l’influenza della teoria

del caos è al tempo stesso profonda e importante. Sembra che lo stesso Universo si trovi in

uno stato caotico. Una notizia del genere non è stata ben vista da Pierre Simon Laplance, che

nel XVIII secolo aveva aderito con fervore alla rivoluzione newtoniana. Il suo tratta sulla

meccanica celeste, in cui prendeva le mosse dalla teoria newtoniana della gravitazione per

descrivere i movimenti di tutti i pianeti, fu un capolavoro. Qualche anno più tardi Laplace

arrivò a vantare la capacità della scienza di spiegare qualsiasi fenomeno:

“un’intelligenza che, in un dato istante, conoscesse tutte le forze che animano la natura

e la rispettiva posizione degli esseri che la costituiscono, e che fosse abbastanza vasta

per sottoporre tutti i dati della sua analisi, abbraccerebbe in un’unica formula i

movimenti dei più grandi corpi dell’Universo come quello dell’atomo più sottile; per

una tale intelligenza tutto sarebbe chiaro e certo e così l’avvenire come il passate le

sarebbero presenti ai suoi occhi”

Poche decine di anni dopo la morte di Laplace, tuttavia, quella visione del mondo cominciò a

collassare. Nel 1860, il fisico scozzese James Clerk Maxwell analizzò l’amplificazione di

piccole variazioni nell’ambito delle collisioni molecolari. Trent’anni dopo , Henri Poincare

scoprì che l’attrazione gravitazionale reciproca di tre corpi in movimento mostrava una

dipendenza sensibile alle condizioni inziali. Negli anni ’20, Balthasar van der Pol, un

ingegnere olandese, mise in evidenza il comportamento caotico dei toni prodotti da un

apparecchio telefonico collegato ad una valvola termoionica: ogni tanto la corrente elettrica

che regolavo il funzionamento dava origine a quello che oggi chiameremmo feedback, o

retroazione, e che van der Pol riuscì a descrivere in un’equazione.

L’equazione di van der Pol fu sicuramente di grande aiuto per gli ingegneri che utilizzavano le

valvole termoioniche per costruire sistemi elettronici come gli apparati radio, ma il rumore

che descriveva continuava ad essere visto come una semplice scocciatura. In realtà il

fenomeno fu studiato anche da altri matematici e ingegneri, ma nessuno vi aveva notato

alcunchè di particolare. Nonostante il gran numero di persone che in qualche modo si era

interessato ai fenomeni caotici, la teoria del caos vide realmente la luce solo con Edward

Lorenz. Lorenz si era appassionato alla meteorologia quando era

ancora un bambino, e aveva trascorso gli anni della Seconda

guerra mondiale lavorando come metorologo per l’aviazione

militare americana. Anni dopo, diventato ricercatore al

Massachusset Istitute of Technology, ebbe l’idea di

combinare la meterorologia e la matematica con una scienza

nata da poco, l’informatica, e costruì un processore capace

di riprodurre un semplice modello climatico. Fu così che

scoprì l’effetto farfalla.

Come molte altre scoperte fondamentali nella storia della

scienza anche quella di Lorenz avvenne per caso. Un

pomeriggio del 1961 Lorenz stava effettuando una

simulazione meteorologica sul suo computer. Non avendo molto tempo a sua disposizione,

scelse da un listato i valori da cui ripartire e li inserì per riprendere la simulazione da quel

punto preciso. Il risultato si rivelò sbagliato, cioè diverso da quello originale.

Preoccupato per quello che sembrava un errore ricontrollo i numeri utilizzati come input e si

accorse di averli arrotondati alla terza cifra decimale, dando per scontato che la differenza

fosse irrilevante. La dove il computer aveva calcolato 0,506127, Lorenz si era limitato ad

inserire 0,506. La differenza aveva avuto un effetto enorme: egli aveva scoperto la dipendenza

sensibile dalle condizioni iniziali, un’imprevedibilità che nasce dalla nostra conoscenza

limitata.

Le scale dei nostri righelli non sono infinitamente piccole, le nostre azioni non sono

infinitamente armoniose e le nostre macchine non sono infinitamente potenti. Perciò tutte le

misure che effettuiamo saranno affette da un errore piccolo ma finito, e lo stesso verrà per

tutti i calcoli fatti a partire da quelle misure. Prima di Lorenz si credeva che ciò potesse

generare un problema di entità paragonabile a quella dell’errore. La dipendenza sensibile

dalle condizioni iniziali, invece, implica che saranno molto più frequenti i casi in cui l’errore

finale è molto grande.

Il caos è ovunque volgiamo lo sguardo. Il Sistema solare, ad esempio, è caotico perché è

composto da più di due corpi interagenti. Come dimostrò Henri Poncare, mentre è possibile

risolvere l’equazioni che descrivono l’interazione di due corpi, basta aggiungerne uno, o più

di uno, e non sarà più possibile ottenere una soluzione esatta: le equazioni che descrivono il

sistema sono semplicemente irrisolvibili.

Con otto pianeti e un Sole, un’infinità di rocce, asteroidi e comete, i cieli sono governati dal

caos. In ogni caos, un Sistema solare che si comporta caoticamente, anziché obbedire a un

meccanismo a orologeria, non implica che da un momento all’altro potremmo scontrarci con

un altro pianeta. Spesso le orbite caotiche sono limitate e seguono cicli che non si ripetono ma

che restano confinati in una regione di spazio ben precisa, riducendo così il rischio di

collisioni. Che cos’è il caos

deterministico?

Nell’ipotesi deterministica che i fisici hanno fatto fin dai tempi di Newton, ci

si aspetta che, date le condizioni iniziali di un sistema, fosse possibile

conoscere la sua evoluzione nel tempo.

Ipotesi deterministica: date le condizioni iniziali del moto e tutte le

caratteristiche di un sistema fisico(massa dei corpi, vincoli a cui sono sottoposti

e forze a cui sono soggetti), le leggi della fisica permettono di calcolare le

posizioni e le velocità dei corpi che lo costituiscono con qualsiasi precisione si

desideri e per tempi anche lunghissimi.

Il comportamento di tali sistemi è predicibile, in altre parole ci si aspetta che il

futuro di tali sistemi sia condizionato dal presente.

Ma esistono in natura numerosi sistemi che cercherò di descrivere che

presentano dei comportamenti “caotici” anche se le forze in gioco sono

deterministiche.

La teoria del caos( deterministico ) studia quei sistemi dinamici la cui

evoluzione è estremamente sensibile alle condizioni iniziali. Variazioni

anche minime nei dati di partenza provocano a lungo andare grandi effetti

nella dinamica del sistema, portandolo a stati completamente caotici.

È quindi possibile sciogliere l’apparente contraddizione tra determinismo e

impredicibilità a lungo termine: il moto di un sistema è determinato senza

ambiguità dalle condizioni iniziali, ma la nostra conoscenza inevitabilmente

imprecisa di tale stato limita drasticamente la nostra possibilità di predire la

sua traiettoria. Per questo si parla di “caos deterministico”

La nascita dell’impredicibilità ipotizzata da Maxwell, è fatta risalire nel 1903 al

fisico francese Henri Poincaré, che studiò le instabilità delle traiettorie e

scoperse l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali di un sistema di tre corpi.

Egli scrisse:

“Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione

dell’universo al momento iniziale, potremmo conoscere esattamente la

situazione dello stesso universo in un momento successivo. Ma anche se fosse

vero che le leggi naturali non abbiano più alcun segreto per noi, potremmo

conoscere lo stato iniziale approssimativamente. E se ciò ci consentisse di

prevedere lo stato successivo con la stessa approssimazione, che è tutto ciò di

cui abbiamo bisogno, dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, cioè

governato da leggi.ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze

nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un

piccolo errore nelle prime produrrà un enorme errore nelle successive. La

previsione diventa impossibile , e abbiamo il fenomeno casuale fortuito”

Poincarè è giustamente considerato il fondatore della teoria che oggi è

chiamata

“caos deterministico”.

In apparenza contraddittorio, il caos deterministico si riferisce a quei

comportamenti di tutti i sistemi fisici che presentano moti caotici anche se le

forze in gioco sono deterministiche, cioè fissate una volta per tutte e note.

La teoria del caos (deterministico) studia quei sistemi dinamici la cui evoluzione

è estremamente sensibile alle condizioni iniziali. Variazioni anche

minime nei dati di partenza provocano a lungo andare grandi effetti nella

dinamica del sistema, portandolo a stati completamente caotici.

Esempi classici per illustrare qualitativamente il caos

deterministico Un primo esempio di sistema è il pendolo semplice

può essere assunto come punto di partenza per

spiegare tale teoria del caos.

Il pendolo semplice è un sistema predicibile in quanto

viene utilizzato per marcare il tempo

Si modifica il pendolo e si considera un pendolo doppio,

cioè un sistema formato da due asticelle rigide, unite a

una estremità e libere di oscillare.

Si dimostra che per angoli piccoli il pendolo doppio si

comporta come il pendolo semplice : il sistema è un

sistema lineare e il suo comportamento futuro è

esattamente predicibile.

La traiettoria dei due moti è circolare e quindi descritta

dall’equazioni di tale moto.

Ma se gli angoli iniziali diventano più grandi , anche se differiscono di poco, la

traiettoria non è più circolare ma presenta una traiettoria completamente

casuale.

Il sistema ora non è più lineare e il suo comportamento è completamente

diverso.

Il moto non presenta alcuna regolarità : la traiettoria della seconda massa non

si ripete mai , con cambiamenti di direzione improvvisi e apparentemente

casuali.

Ora prendiamo due pendoli semplici e li facciamo oscillare variando di poco le

condizioni iniziali. I due pendoli si muovono all’unisono anche se sono lontani

l’uno dall’altro per una piccola variazione all’istante iniziale.

Se invece consideriamo due pendoli doppi e come in precedenza li facciamo

oscillare variando di poco le condizioni di partenza, si nota che per un cero

punto oscillano insieme ma poi le traiettorie si allontanano sempre più l’una

dall’altra.

Ripetendo l’esperimento molte volte, il risultato si conferma per quanto si

cerchi di far partire il sistema esattamente dalle stesse condizioni iniziali. Se