Bolle di sapone

Revisionato il 08/10/2026

di _antoniobernardo

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Tesina per la maturità che tratta un argomento insolito: le bolle di sapone, non solo da un punto di vista scientifico e matematico.

…continua

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Tesine maturita

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Margherita Biffi

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Classe 5^A

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PACLE A. Manzoni

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A.s. 2003/2004

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Indice

Premessa........................................................................................................ pag. 3

Minimi e massimi nello studio di funzione.................................................... pag. 4

J. A. F. Plateau e le superfici minime............................................................. pag. 7

Reti minime..................................................................................................... pag. 9

La proprietà isoperimetrica............................................................................. pag. 12

pag. 14

La curvatura....................................................................................................

La tensione superficiale.................................................................................. pag. 17

Cellule, virus e bolle medicinali...................................................................... pag. 19

Bolle nella letteratura...................................................................................... pag. 21

Le bolle nell’arte.............................................................................................. pag. 31

Architettura...................................................................................................... pag. 34

Bibliografia...................................................................................................... pag. 37 2

“Una bolla di sapone è la cosa più bella, e la più elegante, che ci sia in natura... Mi

chiedo quanto ci vorrebbe per comprare una bolla di sapone se al mondo ne esistesse

soltanto una" - Mark Twain -

Premessa

L’idea

Quando a ottobre presentai ai miei professori l’argomento della mia tesina rimasero attoniti,

bisogna ammettere che non è un argomento abituale, di solito si cercano temi più “ordinari” per

presentarsi al colloquio d’esame. Io non amo le cose “normali” per cui era necessario per me

trovare un soggetto trattabile, ma allo stesso tempo un po’ stravagante; un argomento che

potesse, insomma, rispecchiare il mio carattere e il mio modo di essere.

La traduzione da teorico a pratico della mia idea non è stata semplice, chi mi ha supportato (o

sopportato?!) in questi mesi lo sa bene: oltre a trovare i “collegamenti interdisciplinari” era per

me doveroso riuscire a creare qualcosa di semplice da seguire e che riuscisse a coinvolgere

anche chi non ama la matematica e le materie scientifiche, perni di questa tesina.

L’argomento

Le bolle di sapone sono uno degli argomenti più interessanti in molti settori della ricerca

scientifica: dalla matematica alla chimica, dalla fisica alla biologia, ma non solo, anche

nell’architettura e nell’arte, nel design e perfino nella pubblicità.

Un fisico britannico di fine ‘800, Charles Vernon Boys, in un suo affascinante libro sulle bolle di

sapone scrisse: «ci sono più cose in una comune bolla di sapone di quante non ne sappia

immaginare chi si limiti a vederla come un gioco».

Effettivamente per i matematici le bolle di sapone sono modelli di una geometria delle forme

molto stabili, e per gli artisti sono il simbolo della vanità, della fragilità delle ambizioni umane,

della vita stessa.

Le bolle, non solo di sapone, le troviamo ovunque: nell’industria alimentare, nella schiuma da

barba, nei serbatoi delle navette spaziali, nelle plastiche, nel nostro corpo,…

L’esecuzione

Questa tesina è nata con la volontà di trattare come argomento principale un tema relativo alla

matematica, materia spesso odiata dagli studenti forse perché, per così dire, è impantanata in

un linguaggio di simboli estranei alla maggior parte di noi; almeno l’arte la si può vedere, anche

la filosofia e la letteratura, per quanto a volte oscure, hanno se non altro il vantaggio di poter

essere espresse in una lingua!

Nella stesura delle parti relative a materie come fisica, biologia, arte e architettura non ho

approfondito troppo la questione, ho dato solo nozioni fondamentali, spesso usando anche

termini impropri che però “rendevano meglio l’idea”, per poter almeno far intuire la

complessità delle bolle (non solo di sapone) e dei principi su cui si basano, tralasciando tanti

altri campi quali l’ottica, le superfici metalliche, la scienza dei materiali, la gastronomia

(ebbene sì, tante prelibatezze e tante bevande hanno il loro aspetto caratteristico grazie alla

schiuma!),…

La letteratura merita invece una spiegazione a sé, poiché nei miei propositi iniziali c’era l’idea

di trovare autori che avessero utilizzato di frequente la metafora della bolla di sapone, poi, visto

che veramente pochi scrittori hanno scelto come simbolo le bolle, mi sono chiesta quali

immagini potessero suggerire le bolle di sapone, la risposta che mi sono data (con l’aiuto delle

mie professoresse) è stata “leggerezza e precarietà”, per questo gli autori italiani e francesi

scelti, sono autori che hanno dedicato parte delle loro opere ad una di queste due sensazioni.

Per la letteratura inglese, invece, sono tornata a parlare della sfera in termini più matematici e,

forse, più surreali e fantasiosi. 3

Minimi e massimi nello studio di funzione

Data una funzione è possibile calcolare le sue variazioni, questo tipo di calcolo è chiamato

«differenziale» e nel suo sviluppo storico fu molto influenzato da problemi particolari di

massimo e minimo.

Nel grafico di una funzione, un massimo corrisponde ad una sommità più alta di tutti gli altri

punti vicini, mentre un minimo corrisponde al fondo di una valle, più basso di tutti i punti vicini.

Per definire i punti di massimo e di minimo è del tutto naturale usare la nozione di tangente ad

y f (x )

una curva. Nei punti di massimo o di minimo la tangente al grafico deve essere

parallela all’asse x, poiché altrimenti la curva in questi punti salirebbe o scenderebbe.

Per caratterizzare la direzione di una retta nel piano x, y di solito si considera la sua

«inclinazione» o il «coefficiente angolare».

Per calcolare tale inclinazione, si prende a piacere un

punto P sulla retta l e ci si muove sulla parallela

all’asse x passante per P, da sinistra verso destra, fino l

ad un punto qualsiasi R. Da R ci si muove poi

parallelamente all’asse y, verso l’alto o verso il basso,

fino a raggiungere in un certo punto Q la retta l.

RQ

L

Bene, l’inclinazione è il rapporto, calcolato

PR

algebricamente esso dà l’incremento, positivo o

negativo, dell’ordinata di un punto, per ogni unità di

lunghezza dell’orizzontale, quando ci si muova sulla

retta da sinistra verso destra.

Per «inclinazione» o «coefficiente angolare» di una curva in un punto P si intende l’inclinazione

della tangente alla curva in P. Se si accetta la tangente ad una curva come un concetto

matematico dato, rimane soltanto il problema di trovare un procedimento per calcolare il

coefficiente angolare.

Non si può calcolare il coefficiente angolare di

( )

y f x P x y

( ) ,

una curva nel punto

considerando la curva nel solo punto P; si deve

invece ricorrere ad un passaggio al limite. P ,

Consideriamo sulla curva un altro punto 1

x y

, . Indichiamo

prossimo a P, di coordinate 1 1

t P

con la retta che congiunge P a ; essa è una

1 1

secante della curva, che si approssima alla

P si avvicina a P. Diciamo

tangente in P quando 1

α t

l’angolo che va dall’asse x alla retta . Se

1 1

x P

ora facciamo tendere a x, si muove lungo

1 1 t

la curva verso P, e la posizione della secante 1

si accosta, al limite, a quella tangente t alla

α indica l’angolo che va dall’asse

curva in P. Se →

x x

x a t, allora per 1 α α

→ → → →

y y P P t t

, , e

1 1 1 1

La tangente è il limite della secante, e il coefficiente angolare della tangente è il limite del

coefficiente angolare della secante. 4

Il coefficiente angolare della secante è dato dalla formula

1 − −

y y f ( x ) f ( x )

= =

1 1

1 −

−

x x x x

1 1 ∆

ovvero, se si indica l’operazione di differenza con il simbolo ,

∆ ∆ ( )

y f x

= =

1 ∆ ∆

x x ∆

t y

Il coefficiente angolare della secante è un «rapporto incrementale»: la differenza dei

1 ∆

valori della funzione, divisa per la differenza dei valori della variabile indipendente. Inoltre,

− ∆

f x f x

( ) ( ) y

= =

t lim lim

coefficiente angolare di t = limite del coefficiente angolare 1 ∆

−

x x x

→ − = ∆ →

x x x x x 0

dove i limiti sono calcolati per , cioè per .

1 1 ∆

Il coefficiente angolare della tangente t alla curva è il limite del rapporto incrementale ∆

∆

x tendente a zero.

per =

f x y f x

( ) ( )

La funzione originaria dava l’altezza, cioè l’ordinata della curva per il valore x.

Si può ora considerare il coefficiente angolare della curva, in un punto P di coordinate x e

= '

y f x

( ) f ( x )

, come una nuova funzione di x, che indicheremo con e chiameremo derivata

f (x ) .

della funzione f x

( )

L’operazione di «derivazione» fa corrispondere ai valori di una data funzione i valori di

' f x

( )

f ( x )

un’altra funzione secondo una legge ben determinata, esattamente come la funzione

f (x )

è definita da una legge che associa ad ogni valore della variabile x il valore :

f x y f x

( ) ( )

= ordinata della curva nel punto x

' y f x

( )

f ( x ) = coefficiente angolare della curva nel punto x

Si ha perciò −

f ( x ) f ( x )

' 1

f x

( ) lim −

x x

∆ →

x 0 1

y f (x )

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