Bolle di sapone

MINIMI & MASSIMI NELLO STUDIO DI FUNZIONE

Data una funzione è possibile calcolare le sue variazioni, questo tipo di calcolo è chiamato

«differenziale» e nel suo sviluppo storico fu molto influenzato da problemi particolari di

massimo e minimo.

Nel grafico di una funzione, un massimo corrisponde ad una sommità più alta di tutti gli altri

punti vicini, mentre un minimo corrisponde al fondo di una valle, più basso di tutti i punti vicini.

Per definire i punti di massimo e di minimo è del tutto naturale usare la nozione di tangente ad

=

y f (x )

una curva. Nei punti di massimo o di minimo la tangente al grafico deve essere

parallela all’asse x, poiché altrimenti la curva in questi punti salirebbe o scenderebbe.

Per caratterizzare la direzione di una retta nel piano x, y di solito si considera la sua

«inclinazione» o il «coefficiente angolare».

Per calcolare tale inclinazione, si prende a piacere un

punto P sulla retta l e ci si muove sulla parallela

all’asse x passante per P, da sinistra verso destra, fino l

ad un punto qualsiasi R. Da R ci si muove poi

parallelamente all’asse y, verso l’alto o verso il basso,

fino a raggiungere in un certo punto Q la retta l.

RQ

=

L

Bene, l’inclinazione è il rapporto , calcolato

PR

algebricamente esso dà l’incremento, positivo o

negativo, dell’ordinata di un punto, per ogni unità di

lunghezza dell’orizzontale, quando ci si muova sulla

retta da sinistra verso destra.

Per «inclinazione» o «coefficiente angolare» di una curva in un punto P si intende l’inclinazione

della tangente alla curva in P. Se si accetta la tangente ad una curva come un concetto

matematico dato, rimane soltanto il problema di trovare un procedimento per calcolare il

coefficiente angolare.

Non si può calcolare il coefficiente angolare di

( )

=

y f x P x y

( ) ,

una curva nel punto

considerando la curva nel solo punto P; si deve

invece ricorrere ad un passaggio al limite. P ,

Consideriamo sulla curva un altro punto 1

x y

, . Indichiamo

prossimo a P, di coordinate 1 1

t P

con la retta che congiunge P a ; essa è una

1 1

secante della curva, che si approssima alla

P si avvicina a P. Diciamo

tangente in P quando 1

α t

l’angolo che va dall’asse x alla retta . Se

1 1

x P

ora facciamo tendere a x, si muove lungo

1 1 t

la curva verso P, e la posizione della secante 1

si accosta, al limite, a quella tangente t alla

α indica l’angolo che va dall’asse

curva in P. Se →

x x

x a t, allora per 1 α α

→ → → →

y y P P t t

, , e

1 1 1 1

La tangente è il limite della secante, e il coefficiente angolare della tangente è il limite del

coefficiente angolare della secante. 4

t

Il coefficiente angolare della secante è dato dalla formula

1 − −

y y f ( x ) f ( x )

= =

1 1

t

1 −

−

x x x x

1 1 ∆

ovvero, se si indica l’operazione di differenza con il simbolo ,

∆ ∆ ( )

y f x

= =

t

1 ∆ ∆

x x ∆

t y

Il coefficiente angolare della secante è un «rapporto incrementale»: la differenza dei

1 ∆

x

valori della funzione, divisa per la differenza dei valori della variabile indipendente. Inoltre,

− ∆

f x f x

( ) ( ) y

= =

1

t lim lim

coefficiente angolare di t = limite del coefficiente angolare 1 ∆

−

x x x

1

→ − = ∆ →

x x x x x 0

dove i limiti sono calcolati per , cioè per .

1 1 ∆

y

Il coefficiente angolare della tangente t alla curva è il limite del rapporto incrementale ∆

x

∆

x tendente a zero.

per =

f x y f x

( ) ( )

La funzione originaria dava l’altezza, cioè l’ordinata della curva per il valore x.

Si può ora considerare il coefficiente angolare della curva, in un punto P di coordinate x e

= '

y f x

( ) f ( x )

, come una nuova funzione di x, che indicheremo con e chiameremo derivata

f (x ) .

della funzione f x

( )

L’operazione di «derivazione» fa corrispondere ai valori di una data funzione i valori di

' f x

( )

f ( x )

un’altra funzione secondo una legge ben determinata, esattamente come la funzione

f (x )

è definita da una legge che associa ad ogni valore della variabile x il valore :

=

f x y f x

( ) ( )

= ordinata della curva nel punto x

=

' y f x

( )

f ( x ) = coefficiente angolare della curva nel punto x

Si ha perciò −

f ( x ) f ( x )

=

' 1

f x

( ) lim −

x x

∆ →

x 0 1

=

y f (x )

Immaginando la curva percorsa nel verso corrispondente alle x crescenti, se in un

>

'

f ( x ) 0

punto la derivata è positiva, cioè se , la curva è crescente, se la derivata è negativa,

< =

' '

f ( x ) 0 f ( x ) 0

cioè se , la curva è decrescente, mentre se , la curva ha in quel punto una

tangente orizzontale. In un punto di massimo o di minimo il coefficiente angolare della curva

deve essere 0. =

'

f ( x ) 0 rispetto a x, si possono trovare le ascisse e i punti di

Quindi, risolvendo l’equazione

massimo e di minimo, come fu fatto per la prima volta da Fermat.

'

f ( x ) , esaminiamo una curva come quella proposta di

Per vedere cosa significhi l’annullarsi di

seguito. Vi sono cinque punti, A, B, C, D, E, in cui la tangente a questa curva è orizzontale;

f x f x

( ) ( )

in questi punti. Il massimo di

indichiamo con a, b, c, d, e, rispettivamente, i valori di

nell’intervallo riprodotto è in D, il minimo in A.

Anche il punto B rappresenta un massimo, nel senso che per tutti gli altri punti nelle immediate

f (x ) f (x )

vicinanze di B, è minore di b, benché sia maggiore di b per punti vicini a D. Per

f (x )

questo motivo B si dice massimo relativo di , mentre D è il massimo assoluto.

Analogamente, C rappresenta un minimo relativo e A il minimo assoluto. 5

=

'

f (x ) f ( x ) 0

Infine, in E, non ha né massimo né minimo, anche se . Da ciò segue che

'

f ( x )

l’annullarsi di è una condizione necessaria ma non sufficiente per la presenza di un

massimo o un minimo. y x 6

J. A. F. PLATEAU & LE SUPERFICI MINIME

Se prendiamo una piccola bottiglia di plastica trasparente, la riempiamo a metà con acqua,

aggiungiamo uno schizzo di sapone liquido e la agitiamo, otteniamo una massa di bolle, ognuna

delle quali circondata da acqua insaponata.

Se si omette il sapone, quando si scuote la bottiglia le bolle si formano lo stesso, ma sono troppo

instabili e si rompono nel momento in cui si smette di scuotere. Con il sapone liquido, lo

“shakeraggio” produce una trasformazione radicale: il liquido si mescola sempre di più all’aria e

forma un intruglio quasi immobile e…schiumoso, non c’è altra parola.

Le bolle che si formano sono impilate come arance dal fruttivendolo, ma senza il loro

bell’ordine. Ognuna è una sfera circondata dal liquido che la isola dalle bolle vicine. Con il

passare del tempo la situazione cambia: il liquido diminuisce, le bolle diventano più grandi e

cambiano forma, al posto delle sfere, bolle adiacenti si distorcono in poliedri perfettamente

incastrati tra loro.

A differenza della geometria ripetitiva dei cristalli di sale, però, la struttura schiumosa ha facce

irregolari che possono avere dai tre ai nove vertici. Se ne hanno sei ricordano le celle esagonali

di un’arnia, ma la perfetta simmetria di un favo è ben lontana dalla stupefacente complessità

della schiuma!

IL PIÙ AUTOREVOLE DEI PRIMI SCHIUMOGENI

I tentativi iniziali per districare gli elementi di questa curiosa struttura furono compiuti

nell’Ottocento dal fisico belga Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883). Le sue leggi di

geometria della schiuma sono tuttora valide.

Paradossalmente, Plateau rimase cieco per gran pare della propria vita perché durante certe

ricerche di ottica aveva guardato direttamente il sole. Prima di perdere la vista, studiò la

geometria di pellicole insaponate tese tra cornici di fil di ferro e continuò a farlo anche in

seguito, con l’aiuto di amici e parenti.

Nel 1873 pubblica il risultato di quindici anni di ricerche: "Statique expérimentale et théorique

des liquides soumis aux seules forces moléculaires". In quel libro si pongono molti problemi che

riguardano le lamine e le bolle di sapone. Nasce la moderna teoria delle superfici minime, le

superfici che hanno l'area più piccola tra tutte quelle di una famiglia definita in base a qualche

proprietà. Una delle cose più stupefacenti che osserva Plateau è che se si soffia con una

cannuccia in una soluzione di acqua saponata, comunque sia elevato il numero di lamine di

sapone che vengono a contatto fra loro, non vi possono essere altro che due tipi di

configurazioni. Precisamente le tre regole sperimentali che Plateau scopre a proposito delle

lamine saponate sono che:

1. un sistema di bolle o un sistema di lamine attaccate a un supporto in fil di ferro è costituito

da superfici piane o curve che si intersecano tra loro secondo linee con curvatura molto

regolare;

2. le superfici possono incontrarsi solo in due modi: o tre superfici che si incontrano lungo una

linea o sei superfici che danno luogo a quattro curve che si incontrano in un vertice;

3. gli angoli di intersezione delle superfici lungo una linea o delle curve di intersezione in un

vertice sono sempre eguali, nel primo caso a 120°, nel secondo a 109° 28'. 7

SUPERFICI MINIME: PIANO, ELICOIDE, CATENOIDE

I problemi di massimo e minimo possono essere molto difficili e spesso le nostre conoscenze non

sono sufficienti per risolverli mediante formule analitiche o costruzioni geometriche. Talvolta

anche la dimostrazione di esistenza è particolarmente impegnativa: si ricorre allora a

simulazioni effettuate al computer o tramite speciali dispositivi fisici. A volte la realizzazione di

una certa situazione o di un qualche fenomeno può essere convincente quasi quanto una prova

anche se non può mai sostituirla. Il motivo più profondo che spiega ciò è che gli oggetti

dell’esperienza fisica sono soltanto delle raffigurazioni di corrispondenti concetti matematici.

Così le lamine saponose e i contorni metallici che le sostengono forniscono una rappresentazione

suggestiva delle superfici, ma, per quanto sottili e levigate, non sono esattamente la stessa

cosa. È quindi necessario tenere sempre separato il risultato di un esperimento dalla soluzione

teorica del problema riprodotto. Elicoide

Catenoide

Sella di Shreck 8

RETI MINIME

Quando trattiamo problemi di “ottimizzazione”, nella vita di tutti i giorni, incontriamo senza

volerlo problemi di massimi e minimi.

Reti elettriche, telefoniche, stradali, ferroviarie, reti con cui veniamo a contatto praticamene

ogni giorno, possono essere viste come un insieme di linee che si incrociano in vari modi,

collegando fra loro diversi punti.

Qual è il tracciato più breve per collegare un certo numero di punti? La risposta è semplice se i

punti fissati sono due: un segmento di linea retta risolve il problema, ma se i punti sono tre o

quattro?

La risposta si può avere empiricamente usando una pellicola insaponata, essa indica

automaticamente il percorso giusto, attaccandosi su un plastico a piccola scala che riproduce la

distribuzione geografica dei vari punti.

Le tre lamine si incontrano formando, a coppie, un angolo di 120° simile a una Y. Se

modifichiamo la posizione dei pioli, la situazione è sempre caratterizzata da un incrocio interno

con angoli di 120° a meno che un vertice del triangolo non abbia un angolo interno maggiore o

uguale di 120°, allora la situazione è data dai due lati adiacenti a quest’angolo.

E nel caso di quattro punti? È sempre una soluzione in cui i segmenti partono dai vertici e si

incontrano in un punto centrale (forma a X)? La risposta è no, tenendo presente la prima legge di

Plateau che ci dice che le lamine si possono incontrare tre alla volta e formando angoli di 120°,

possiamo accorgerci che se scegliessimo la forma a X gli angoli avrebbero una misura inferiore e

quindi il percorso può essere migliorato. Se infatti cerchiamo configurazioni a forma di H storta

o a doppia Y, ci accorgiamo che questa soluzione è più breve proprio perché ci sono due

intersezioni, ciascuna formata da tre lamine piane, disposte ad angoli di 120°. 9

Consideriamo ora cinque punti disposti nei vertici di un pentagono regolare. La configurazione

lamine ottenuta e rappresentata da tre intersezioni, ciascuna generata da tre segmenti che si

incontrano, come sempre, a 120°.