Documenti didattici di Matematica

(y+2)(b^2-1)+by-y+2b-2 (y+2)(b+1)(b-1)+y(b-1)+2(b-1) (b-1)[(y+2)(b+1)+y+2] (b-1)(by+y+2b+2+y+2) (b-1)(by+2y+2b+4) (b-1)[y(b+2)+2(b+2)] (b-1)(b+2)(y+2)

a^2+3a+2-(x+1)(a+2) Scompongo il primo trinomio come trinomio notevole, cercando due numeri la cui somma sia +3, prodotto +2. I due numeri sono +2 e +1. (a+2)(a+1)-(x+1)(a+2) (a+2)[a+1-(x+1)] (a+2)(a+1-x-1) (a+2)(a-x)

(1-b/(a+b))(1+b/(a-b))(1-b^2 / a^2) (a+b-b)/(a+b) * (a-b+b)/(a-b) * (a^2 -b^2)/a^2 a/(a+b) * a/(a-b) * ((a-b)(a+b))/a^2=1 semplificando numeratori con denominatori

(1/(3x+1) +1/(3x-1)-1/(9x^2 -1) ): (2+ (6x)/(3x-1)) + 1/(6x+2) scompongo in fattori 9x^2 -1 (1/(3x+1) +1/(3x-1)-1/((3x -1)(3x+1) )): (2(3x-1)+ 6x)/(3x-1) + 1/(6x+2) Sommo le frazioni nelle parentesi tonde (3x-1+3x+1-1)/((3x+1)(3x-1...

(2x-1)/(x+3) +(1-x)/(x+1) = (x-2)/(x+3) m.c.m. (x+3)(x+1) Condizioni di esistenza x+3 e 0 arr x e -3 x+1 e 0 arr x e -1 ((2x-1)(x+1)+(1-x)(x+3))/((x+3)(x-3)) = ((x-2)(x+1))/((x+3)(x-3)) elimino il denominatore comu

(2a+x)/(a-2) -1/(2a-4)=1 scompongo in fattori i denominatori (2a+x)/(a-2) -1/(2(a-2)) =1 Condizione di esistenza a-2 e 0 arr a e 2 m.c.m. 2(a-2) (2(2a+x)-1)/(2(a-2)) = (2(a-2))/(2(a-2)) elimino il denominatore comune

Il seguente appunto spiega come trattare problemi di aritmetica relativi alle proporzioni, fornendo un esempio specifico trattando un problema sulle forniture di gas delle caldaie.

Svolgimento: int(1/(3+5x)^6)dx=1/5int((3+5x)^(-6)D(5x))dx= =1/5((3+5x)^(-5)/(-5))+c=-1/(25(3+5x)^5)+c .

Svolgimento: int(x/(sqrt(2-3x^2)))dx=-1/6int((2-3x^2)^(-1/2)(-6))dx= =-1/6int((2x-3x^2)^(-1/2)D(2-3x^2))dx=-1/6((2-3x^2)^(1/2)/(1/2))+c= =-1/3sqrt(2-3x^2)+c .

Svolgimento: int(1/(sin(x+a)))dx=int(1/(2sin((x+a)/2)cos((x+a)/2)))dx= int(1/(tg((x+a)/2)*2cos^2((x+a)/2)))dx=int((D(tg((x+a)/2)))/(tg((x+a)/2)))dx= log(|tg((x+a)/2)|)+c .

Svolgimento: Assumendo x^2 come fattore finito, si ha int(x^2sinx)dx=int(x^2D(-cosx))dx=-x^2cosx+2int(xcosx)dx= Integrando di nuovo per parti, scegliendo x come fattore finito si ha =-x^2cosx+2xsinx-2int(sinx)dx=(2-x^2)cosx+2xsinx+c .

Svolgimento: Eseguendo la sostituzione x^2=t , cioè x=sqrtt , si ha dx=(1/(2sqrtt))dt e perciò int(x^5e^(x^2))dx=int(t^2sqrtte^t*1/(2sqrtt))dt=1/2int(t^2e^t)dt Integrando per parti, si ha subito int(t^2e^t)dt=e^t(t^2-2t+2)+c da cui, ponendo...

Svolgimento: Ponendo t=cosx , risulta dx=-(dt)/(sqrt(1-t^2)) .Perciò: int_(0)^((pi)/2)(sqrt(1+cosx))dx=-int_(0)^(1)((sqrt(1+t))/(sqrt(1-t^2)))dt= int_(0)^(1)(1/(sqrt(1-t)))dt=[2sqrt(1-t)]_(0)^(1)=2 .

Svolgimento: Eseguendo la sostituzione sqrt(1+x)=t , cioè x=t^2-1, dx=2tdt , allora, per x=1,t=sqrt2 e per x=8, t=3 . Pertanto: int_(1)^(8)((sqrt(1+x))/x)dx=int_(sqrt2)^(3)((2t^2)/(t^2-1))dt= =[2t+log((t-1)/(t+1))]_(sqrt2)^(3)=6-2sqrt2+log(1/...

Svolgimento: Con la sostituzione x=t^2 ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(arctg(sqrtx))dx=int(2tarctg(t))dt=t^2arctg(t)-int(t^2/(1+t^2))dt= =t^2arctg(t)-t+arctg(t)+c=xarctg(sqrtx)-sqrtx+arctg(sqrtx)+c .

Svolgimento: Con la sostituzione x=e^t ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(cos(logx))dx=int(e^tcost)dt=1/2e^t(sint+cost)= =1/2x[sin(logx)+cos(logx)]+c .

Svolgimento: int(1/(1+e^x))dx=int((1+e^x-e^x)/(1+e^x))dx=int(dx)-int(e^x/(1+e^x))dx= =x-log(1+e^x)+c .

Svolgimento: int(1/(sinxcosx))dx=int(1/(tgxcos^2x))dx= =int((D(tgx))/(tgx))dx=log(|tgx|)+c .

Svolgimento: Applichiamo la semplice regola d'integrabilità  e otteniamo int(x^4+3x^3-5x^2-10)dx=4x^3+9x^2-10x+c .

Svolgimento: int(x^3/(sqrt(1-x^4)))dx=-1/4int((-4x^3)/(1-x^4)^(-1/2)D(1-x^4))dx= =-1/2sqrt(1-x^4)+c .