Documenti didattici di Matematica

Calcolare le radici terze di -81 . Si deve calcolare z in modo che z^3 = -81 . Dato che z e -81 sono numeri complessi possono essere scritti in modulo e fase z = ho e^{i heta} -81 = 3^3 e^{i pi} dove ho e heta sono il modulo e la

Studiare il carattere della seguente serie [math]\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \frac{1}{\sqrt{n^3 - n}}[/math] Dato che \displaystyle{\lim_{n \to +\infty}} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^3 - n}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} = \d...

Studiare il carattere della seguente serie sum_{n=1}^{+infty} frac{n cdot 2^n}{e^{frac{n}{2}}} Osservando che lim_{n o +infty} frac{n cdot 2^n}{e^{frac{n}{2}}} = lim_{n to +infty} n cdot (frac{2}{sqrt{e}})^n = +inft

Dire se la seguente serie converge oppure no sum_{n=0}^{+infty} cos(frac{n+2}{n^4 + 4}) Dato che lim_{n o +infty} cos(frac{n+2}{n^4 + 4}) = cos(0) = 1 la condizione necessaria per al convergenza non è soddisfa

Studiare il carattere della seguente serie sum_{n = 0}^{+infty} sin(frac{n+2}{n^3 + 4}) lim_{n o +infty} sin(frac{n+2}{n^3 + 4}) = sin(0) = 0 pertanto la condizione necessaria per la convergenza è verificata. Sfruttando il limi

Studiare il carattere della seguente serie a termini di segno positivo sum_{n=1}^{+infty} frac{n!}{n^n} La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta solo se lim_{n o +infty} frac{n!}{n^n} = 0 lim_{n

Studiare il carattere della seguente serie sum_{n=0}^{+infty} frac{2^n + 1}{3^n + n} La serie è a termini positivi. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che lim_{n o +infty} frac{2^n + 1}{3^n

Studiare il carattere della seguente serie sum_{n=1}^{+infty} frac{n + ln(n)}{(n + cos(n))^3} Il coseno è una funzione limitata fra -1 e 1 , pertanto n + cos(n) > 0 forall n in mathbb{N} setminus {0} . Dato che n + l

Stabilire se la seguente serie a termini di segno variabile converge assolutamente e/o semplicemente sum_{n=1}^{+infty} frac{(-1)^n}{sqrt{n}} La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che lim_{n o +in

Studiare il carattere della seguente serie sum_{n = 1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2} La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti lim_{n o +infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = lim_{n

Studiare il carattere della seguene serie sum_{n=1}^{+infty} frac{cos(n frac{pi}{2})}{n} Osservando che sum_{n=1}^{+infty} frac{cos(n frac{pi}{2})}{n} = -frac{1}{2} + frac{1}{4} - frac{1}{6} + frac{1}{8} - frac{1

Risolvere il seguente sistema lineare di tre equazione in tre incognite {(2x + y + 3z = 12),(4y - z = -7),(5x + 8z = 34):} Ricavando z in funzione di y dalla seconda equazione, e sostituendo tale valore nelle altre equazioni, si ottiene {(z...

Si scomponga la seguente espressione 4a^2+4a+1-b^4 Le operazione he potremmo svolgere sono molteplici: possiamo eseguire raccoglimenti, differenze tra quadrati ( 4a^2 , 1 , b^4 ) ma la via più agevole consiste nel riconoscere il quadrato binomio ra...

Si calcoli il seguente limite lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-sinx) La forma è indeterminata, infatti sostituendo il valore di pi/2 otteniamo f(pi/4)=(sin(pi/4)-cos(pi/2))/(1-sin(pi/2))=(sqrt2/2-sqrt2/2)/(1-1)=0/0 Per condurre la forma da inde...

Si dimostri l'identità  seguente sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x) Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo Dobbiamo rifletter...

Si mostri la validità  della seguente identità  (tan^2x+1)/(tanx)=(cot^2x+1)/(cotx) E' chiaro che possiamo trasformare il primo membro passando a cotx oppure il secondo membro passando a tanx , indifferentemente. Trasformiamo tutto il pri...

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale f(x) = x e^{-frac{1}{x}} Il prodotto fra due termini è definito laddove sono definiti i due fattori, allo stesso modo un esponenziale è definito laddove è definito l'e

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale f(x) = e^x oot{3}{x^2} Il dominio massimale della funzione è mathbb{R} , dato che un esponenziale è definito laddove è definito l'esponente, e una radice di indice

Si calcoli il limite seguente lim_(xto 0) (sin2x+sinx+tanx)/(1-cos^3x) sapendo che x tende a zero da destra.Sostituendo direttamente x=0 otteniamo una forma indeterminata 0/0 Riscriviamo la funzione in modo più conveniente (sin2x+sinx+tanx)/(1-co...

Si mostri che (sinx)/(1+cosx)=(1-cosx)/(sinx) è un'identità  valida. Si può operare in diversi modi. Ad esempio, prendiamo la frazione al primo membro è moltiplichiamo numeratore è denominatore per 1-cosx In questo modo otteniamo (s