Si mostri la validità dell'identità seguente
[math](\\tan5alpha-\\tan3alpha)/\\cosalpha=(2\\sinalpha)/(\\cos3alpha\\cos5alpha)[/math]
Partiamo dal primo membro, cercando di ricondurci al secondo.
[math](\\tan5alpha-\\tan3alpha)/\\cosalpha=((\\sin5alpha)/(\\cos5alpha)-(\\sin3alpha)/(\\cos3alpha))/\\cosalpha=[/math]
sapendo che
[math]\\taneta=(\\sineta)/\\coseta[/math]
Eseguendo il denominatore comune al numeratore della frazione, si ottiene
[math](\\sin5alpha\\cos3alpha-\\sin3alpha\\cos5alpha)/(\\cos5alpha\\cos3alpha) \cdot 1/\\cosalpha[/math]
il che equivale a
[math](\\sin5alpha\\cos3alpha-\\sin3alpha\\cos5alpha)/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)[/math]
Applicando ora al numeratore la formula di Werner
[math]\\sinx\\cosy=1/2(\\sin(x+y)+\\sin(x-y))[/math]
otteniamo
[math](1/2(\\sin8alpha+\\sin2alpha)-1/2(\\sin8alpha+\\sin(-2alpha)))/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)[/math]
Ricordando che il seno è una funzione dispari, cioè vale
[math]\\sinx=-\\sin(-x)[/math]
abbiamo che [math]-\\sin(-2alpha)=\\sin2alpha[/math]
Perciò
[math](1/2\\sin8alpha+1/2\\sin2alpha-1/2\\sin8alpha+1/2\\sin2alpha)/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)=[/math]
Sommando al numeratore abbiamo
[math]=(1/2\\sin2alpha+1/2\\sin2alpha)/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)=[/math]
[math]=(\\sin2alpha)/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)=(2\\sinalpha\\cosalpha)/(\\cosalpha\\cos3alpha\\cos5alpha)=[/math]
[math]=(2\\sinalpha)/(\\cos3alpha\\cos5alpha)[/math]
Si è dunque mostrato che il primo membro è equivalente al secondo.
FINE
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