Determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acuti
è[math](17)/(13)[/math]
e che il cateto minore è [math]5x[/math]
Svolgimento
Noi sappiamo che
[math]\\sin(\beta)+\\sin(\gamma)=(17)/(13)[/math]
Per le formule di prostaferesi:[math]\\sinp+\\sinq=2\\sin((p+q)/2)\\cos((p-q)/2)[/math]
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di [math]180^circ[/math]
, ovvero[math]\alpha+\beta+\gamma=180^circ[/math]
si ha che[math]90^circ+\beta+\gamma=180^circ => \beta+\gamma=180^circ-90^circ=90^circ[/math]
. Pertanto[math](17)/(13)=\\sin(\beta)+\\sin(\gamma)=2\\sin((\beta+\gamma)/2)\\cos((\beta-\gamma)/2)=2\\sin(45^circ)\\cos((\beta-\gamma)/2)=[/math]
[math]=2 \cdot (\sqrt2)/2\\cos{(\beta-\gamma)/2}=\sqrt2\\cos{(\beta-\gamma)/2} => \\cos{(\beta-\gamma)/2}=(17)/(13\sqrt2)=(17\sqrt2)/(26)[/math]
. Quindi [math](\beta-\gamma)/2=arc\\cos((17\sqrt2)/{26})=22,38^circ[/math]
. Mettiamo a sistema le due equazioni trovate,
[math](\beta-\gamma)/2=22,38^circ[/math]
e [math](\beta+\gamma)/2=45^circ[/math]
, e risolviamolo per sostituzione[math]\egin{cases} (\beta+\gamma)/2=45^circ \\ (\beta-\gamma)/2=22 & 38^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta+\gamma)=90^circ \\ (\beta-\gamma)/2=22 & 38^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta)=90^circ-\gamma \\ (90^circ-\gamma-\gamma)/2=22 & 38^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta)=90^circ-\gamma \\ (90^circ-2(\gamma))/2=22 & 38^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta)=90^circ-\gamma \\ 45^circ-(\gamma)=22 & 38^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta)=90^circ-\gamma \\ (\gamma)=22 & 62^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\egin{cases} (\beta)=90^circ-22 & 38^circ \\ (\gamma)=22 & 62^circ \ \end{cases}[/math]
. Quindi [math](\gamma)=22,62^circ[/math]
e [math](\beta)=67,38^circ[/math]
. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.[math]c=a\\sin(\gamma) => a=c/(\\sin(\gamma))=(5x)/(\\sin(22,62^circ))=13x[/math]
.
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