Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è di
[math]120cm^2[/math]
e
[math]\eta=\arcsin =\frac{5}{13}[/math]
.
Svolgimento
Dati
[math]\alpha=90^\circ[/math]
[math]A=120cm^2[/math]
[math]\eta=\arcsin = \frac{5}{13}[/math]
Sappiamo che
[math]\eta=\arcsin =\frac{5}{13} => \eta=22,62^\circ[/math]
.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di
[math]180^\circ[/math]
, ovvero
[math]\alpha+\eta+\gamma=180^\circ[/math]
si ha che
[math]90^\circ+22,62^\circ+\gamma=180^\circ => \gamma=180^\circ-90^\circ-22,62^\circ=67,38^\circ[/math]
.
Pertanto
[math]\gamma=67,38^\circ[/math]
.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
[math]b=a\sin(\eta)[/math]
, inoltre l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso:
[math]A=\frac{1}{2}ab(\sin (\gamma))=120cm^2[/math]
.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
[math]\begin{cases} \frac{1}{2}ab(\sin (\gamma))=120 \\ b=a\sin(\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} \frac{1}{2}a(a\sin (\eta))\sin(\gamma)=120 \\ b=a\sin (\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} \frac{1}{2}a^2\sin (\eta)\sin(\gamma)=120 \\ b=a\sin(\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} a^2=\frac{120 \cdot 2}{\sin (\eta)\sin(\gamma)} \\ b=a\sin(\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} a^2=\frac{240}{\sin (22,68^\circ) \cdot \sin(27,38^\circ)} \\ b=a\sin(\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} a^2=686 \\ b=a\sin (\eta) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} a=26 \\ b=26 \cdot \sin (22 & 62^\circ) \\ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} a=26 \\ b=10 \\ \end{cases}[/math]
.
Per il Teorema di pitagora
[math]c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(26cm)^2-(10cm)^2}=\sqrt{(686cm^2)-(100cm^2)}=\sqrt{586}cm=24cm[/math]
.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
[math]2p=a+b+c=(26+10+24)cm=60cm[/math]
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