Calcolare il valore della seguente espressione:
[math]\frac{\cos^2(18^\circ) - \sin^2(18^\circ)}{\cos^2(240^\circ) - \tan^2(-18^\circ)}[/math]
[math]\frac{\cos^2(18^\circ) - \sin^2(18^\circ)}{\cos^2(240^\circ) - \tan^2(-18^\circ)}[/math]
Essendo [math]\cos(18^\circ) = \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}, \quad \sin(18^\circ) = \frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1), \quad \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \tan(-18^\circ) = -\sqrt{1 - \frac{2}{5 \sqrt{5}}}[/math]
, sostituendo nell'espressione si ha:[math]\frac{\left(\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1)\right)^2}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\sqrt{1 - \frac{2}{5 \sqrt{5}}}\right)^2}[/math]
[math]\frac{\frac{1}{16} \left(10 + 2 \sqrt{5}\right) - \frac{1}{16} \left(\sqrt{5} - 1\right)^2}{\frac{1}{4}} - \left(1 - \frac{2}{5 \sqrt{5}}\right)[/math]
[math]\frac{\frac{1}{16} \left(10 + 2 \sqrt{5}\right) - \frac{1}{16} \left(5 + 1 - 2 \sqrt{5}\right)}{\frac{1}{4}} - \left(1 - \frac{2}{5 \sqrt{5}}\right)[/math]
[math]\left( \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} \right) \cdot 4 - 1 + \frac{2}{5 \sqrt{5}} = \left( \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} \right) \cdot 4 - 1 + \frac{2}{5 \sqrt{5}}[/math]
[math]1 + \sqrt{5} - 1 + \frac{2}{5 \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}}{5} = \frac{7}{5 \sqrt{5}}[/math]
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