Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco:
[math]75^circ[/math]
. Svolgimento
Osserviamo che[math](75^circ)=(30^circ)+(45^circ)[/math]
; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
[math]\\sin(\alpha+\beta)=\\sin(\alpha)\\cos(\beta)+\\cos(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]\\cos(\alpha+\beta)=\\cos(\alpha)\\cos(\beta)-\\sin(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))[/math]
Nel nostro caso [math]\alpha=30^circ , \beta=45^circ[/math]
, sostituendo otteniamo
[math]\\sin(75^circ)=\\sin(30^circ+45^circ)=\\sin(30^circ)\\cos(45^circ)+\\cos(30^circ)\\sin(45^circ)=[/math]
[math]=1/2((\sqrt2)/2)+{\sqrt3}/2 \cdot (\sqrt2)/2=(\sqrt2)/4+(\sqrt6)/4=1/4(\sqrt2+\sqrt6)[/math]
.
[math]\\cos(75^circ)=\\cos(30^circ+45^circ)=\\cos(30^circ)\\cos(45^circ)-\\sin(30^circ)\\sin(45^circ)=[/math]
[math]=(\sqrt3)/2 \cdot {\sqrt2}/2-1/2 \cdot {\sqrt2}/2=(\sqrt6)/4-{\sqrt2}/4=1/4(\sqrt6-\sqrt2)[/math]
.
[math]tg(75^circ)=tg(30^circ+45^circ)=(tg(30^circ)+tg(45^circ))/(1-tg(45^circ)tg(30^circ))=[/math]
[math]=((\sqrt3)/3+1)/{1-(\sqrt3)/3 \cdot 1}=((\sqrt3+3)/3)/((3-\sqrt3)/3)=(\sqrt3+3)/(3-\sqrt3)[/math]
.
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