Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco:
[math]15^circ[/math]
. Svolgimento
Osserviamo che[math](15^circ)=(45^circ)-(30^circ)[/math]
; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
[math]\\sin(\alpha-\beta)=\\sin(\alpha)\\cos(\beta)-\\cos(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]\\cos(\alpha-\beta)=\\cos(\alpha)\\cos(\beta)+\\sin(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]tg(\alpha-\beta)=(tg(\alpha)-tg(\beta))/(1+tg(\beta)tg(\alpha))[/math]
Nel nostro caso [math]\alpha=45^circ , \beta=30^circ[/math]
, sostituendo otteniamo
[math]\\sin(15^circ)=\\sin(45^circ-30^circ)=\\sin(45^circ)\\cos(30^circ)-\\cos(45^circ)\\sin(30^circ)=[/math]
[math]=(\sqrt2)/2{\sqrt3}/2-1/2(\sqrt2)/2=(\sqrt6)/(4)-(\sqrt2)/(4)=1/4(\sqrt6-\sqrt2)[/math]
.
[math]\\cos(15^circ)=\\cos(45^circ-30^circ)=\\cos(45^circ)\\cos(30^circ)+\\sin(45^circ)\\sin(30^circ)=[/math]
[math]=(\sqrt2)/2{\sqrt3}/2+(\sqrt2)/2 \cdot 1/2=(\sqrt6)/(4)+(\sqrt2)/(4)=1/4(\sqrt6+\sqrt2)[/math]
[math]tg(15^circ)=tg(45^circ-30^circ)=(tg(45^circ)-tg(30^circ))/(1+tg(30^circ)tg(45^circ))=[/math]
[math]=(1-(\sqrt3)/3)/{1+(\sqrt3)/3 \cdot 1}=(1-\sqrt3)/(1+\sqrt3)[/math]
.
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