Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco:
[math]105^circ[/math]
. Svolgimento
Osserviamo che[math](105^circ)=(60^circ)+(45^circ)[/math]
; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
[math]\\sin(\alpha+\beta)=\\sin(\alpha)\\cos(\beta)+\\cos(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]\\cos(\alpha+\beta)=\\cos(\alpha)\\cos(\beta)-\\sin(\alpha)\\sin(\beta)[/math]
[math]tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))[/math]
Nel nostro caso [math]\alpha=60^circ , \beta=45^circ[/math]
, sostituendo otteniamo
[math]\\sin(105^circ)=\\sin(60^circ+45^circ)=\\sin(60^circ)\\cos(45^circ)+\\cos(60^circ)\\sin(45^circ)=[/math]
[math]=(\sqrt3)/2{(\sqrt2)/2}+1/2(\sqrt2)/2=(\sqrt6)/4+(\sqrt2)/4=1/4(\sqrt6+\sqrt2)[/math]
.
[math]\\cos(105^circ)=\\cos(60^circ+45^circ)=\\cos(60^circ)\\cos(45^circ)-\\sin(60^circ)\\sin(45^circ)=[/math]
[math]=(\sqrt2)/2 \cdot 1/2-{\sqrt2}/2 \cdot (\sqrt3)/2={\sqrt2}/4-(\sqrt6)/4=1/4(\sqrt2-\sqrt6)[/math]
.
[math]tg(105^circ)=tg(60^circ+45^circ)=(tg(60^circ)+tg(45^circ))/(1-tg(45^circ)tg(60^circ))=[/math]
[math]=(\sqrt3+1)/{1-(\sqrt3 \cdot 1)}=(\sqrt3+1)/(1-\sqrt3)[/math]
.
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