Appunti storici per una tavola cronologica della trigonometria

• LAlmagesto (il pi grande) (Mathematik syntaxis) di Claudio Tolomeo di Tolemaide Ermea (II sec. a.C.) un trattato in tredici libri che contiene lesposizione sistematica dellantica teoria della trigonometria piana e sferica basata sulle corde in un cerchio e le tavole risultanti per uso astronomico. Nel libro I, 11 si trova la prima tavola trigonometrica esistente (Tavola delle corde nel cerchio) e nel libro I, 13 la dimostrazione dei due teoremi di Menelao. Il Sistema Tolemaico costituisce la fondazione di tutta la scienza astronomica fino a Copernico. Il teorema della corda stabilisce che la lunghezza di una corda AB di una circonferenza di raggio r data dal doppio prodotto del raggio per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda, ossia (AB=2rsinalpha=2rsineta).
• Viene trattato anche il teorema delle proiezioni per triangoli piani: in un triangolo qualunque la misura di un lato uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dellangolo che ciascuno di questi forma con il primo, ossia (a=bcosgamma+ccoseta). Nellopera si ritrovano le formule che forniscono, in termini moderni, il seno della somma e differenza di due archi e quello dellarco met, nonch quattro delle relazioni che risolvono i triangoli rettangoli sferici.
• Nellopera si trova il teorema delle tangenti per triangoli piani: in un triangolo qualunque il rapporto fra la somma di due lati e la loro differenza uguale al rapporto fra la tangente della semisomma degli angoli opposti e la tangente della loro semidifferenza, ossia ((a+b)/(a-b)= an(alpha+eta)/2 / an(alpha-eta)/2) che trae origine dal problema, trattato dallo stesso Tolomeo: trovare due archi data la loro somma (o la loro differenza) e il rapporto delle loro corde. Il teorema delle tangenti viene anche denominato teorema di Nepero in quanto le formule del teorema sono analoghe, nel triangolo piano, a quelle trovate da John Napier (Nepero) (1550-1617) per il triangolo sferico. (vedi Clavio, 1604 e Finck, 1583).

• al-Biruni (973-1048), la cui opera maggiore al-Qanun al-masudi (1035) in undici libri, enuncia il teorema del coseno per triangoli piani: in un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due per il coseno dellangolo opposto al lato considerato, ossia (a^2=b^2+c^2-2bccosalpha). Si tratta del teorema di Pitagora generalizzato, essenzialmente contenuto in forma geoemtrica nelle proposizioni 12 e 13 del secondo libro degli Elementi di Euclide (IV sec. a.C.).
  Proposizione 12: Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo ottuso e dalla proiezione dell'altro su esso. pag. 187
  Proposizione 13: Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all'angolo acuto minore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo acuto, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo acuto e dalla proiezione dell'altro su esso, pag. 189
  da: Frajese, Attilio&Maccioni, Lamberto (a cura) Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza UTET, Torino 1970
• Il teorema del coseno si trova riportato e dimostrato anche da altri matematici moderni come in Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica (1643) di Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), in Course dAnalyse (1821) di Augustin Louis Cauchy (1789-1857) che lo deduce dal teorema dei seni e in De la corrlation des figures en gomtrie (1800) di Lazare Nicolas Margherite Carnot (1752-1823) che lo dimostra utilizzando il teorema delle proiezioni e ne prende anche il nome di teorema del coseno o di Carnot.
• al-Biruni (973-1048), insieme al suo maestro Abu Nasr, dimostra per la prima volta il teorema dei seni per triangoli piani: in un triangolo qualunque il rapporto fra la misura di un lato e il seno dellangolo opposto costante (modulo del triangolo) ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia (a/sinalpha = b/sineta = c/singamma = 2r ). Il teorema dei seni si trova applicato da al-Battani (Albatenio) (850- 929) che vi giunge mediante il teorema di Pitagora. In tempi moderni, una dimostrazione generale venne fornita da Augustus Ferdinand Mbius (1790-1868), che tenne conto dellorientamento dei lati e del senso di rotazione degli angoli (vedi Gersonide, 1316).

• Van der Circkel (1596) di Ludolph van Ceulen (1590-1610);
• Lopera Opus palatinum de triangulis (1569, ma completata e pubblicata postuma dal suo allievo Valentin Otho (1550-1602) nel 1596) di Georg Joachim von Lauchen (Retico) (1514-1576) contiene, per la prima volta in Occidente, tavole dei valori naturali dei seni, delle tangenti e delle secanti da 0 a 90 in 10 in 10 che egli definisce in relazione ad un angolo anzich allarco di un cerchio. Ricava le formule [ sin nalpha = 2sin(n-1)alphacosalpha-sin(n-2)alpha ] [cos nalpha = 2cos(n-1)alphacosalpha - cos(n-2)alpha] applicandole alla costruzione delle sue tavole ed enuncia: [ an(alpha/2) = pm [(p-b)(p-c)/p(p-a)]^{0.5}] (vedi Briggs, 1633)

1617

1619

1620

1624

• John Napier (Nepero) (1550-1617) nelle opere Mirifici logarithmorun canonis descriptio (1614) e Mirifici logarithmorun canonis constructio (postuma, 1619 a cura del figlio Robert 1580-1655) espone i logaritmi naturali (in base e). Introduce il termine logaritmo (numero della ragione).
• Jobst Brgi (1552-1632) nellopera Arithmetische und geometrische progress tabulen (1620), fornisce i risultati del suo lavoro risalente agli anni 1603-1611.
• Henry Briggs (1561-1631) nelle opere Logarithmorum chilias prima (1617) e Aritmetica logaritmica (1624) espone i logaritmi decimali (in base 10) che rispetto a quelli neperiani risultano pi facilmente trattabili.
• Nel New logarithmes (1619) di John Speidell (1600-1634) sono calcolati i logaritmi naturali delle funzioni trigonometriche.
• Sviluppati dietro le necessit della trigonometria, la scoperta dei logaritmi n apporta una sostanziale riorganizzazione. Molte formule vengono modificate e altre introdotte ex novo (come le analogie di Napier) in modo da poterle utilizzare nel calcolo logaritmico. La scoperta delle parti circolari ad opera di Napier permette di sostituire attraverso una sola e chiara regola le numerose formule usate fino ad allora nel calcolo dei triangoli sferici. Vengono costruite tavole che danno i logaritmi dei seni degli angoli. Con lintroduzione dei logaritmi luso della funzione cosecante e secante and scomparendo.

• Sui principi della geometria (1829) di Nikolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1857) [estratto di una sua precedente memoria dal titolo Exposition succincte des principes de la gomtrie avec une dmonstration rigoureuse du thorme des parallles presentata e letta allUniversit del Kazan nel 1826] si trova la geometria non euclidea iperbolica o dellangolo acuto (dallo stesso chiamata immaginaria e, successivamente, pangeometria) nella quale la somma degli angoli interni di un triangolo minore di due angoli retti. Sono messe in relazione le varie geometrie piane mediante il confronto delle corrispondenti leggi di trigonometria.
• Sur la convergence des sries trigonomtriques (1829) di Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

1901