Si dimostri l'identità seguente
[math]\\sin^2x(1+\\tan^2x)+\\cos^2x(1+cot^2x)=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo
Dobbiamo riflettere sulle parentesi.
Osserviamo che
[math]1+\\tan^2x=1+(\\sin^2x)/(\\cos^2x)[/math]
Svolgendo la somma
[math](\\cos^2x+\\sin^2x)/(\\cos^2x)[/math]
Però
[math]\\sin^2x+\\cos^2x=1[/math]
quindi l'espressione iniziale diventa
[math]1/(\\cos^2x)[/math]
In modo analogo, si mostra che vale anche l'identità
[math]1+cot^2x=1/(\\sin^2x)[/math]
La semplice dimostrazione di quest'ultima la lasciamo al lettore.
L'espressione iniziale
[math]\\sin^2x(1+\\tan^2x)+\\cos^2x(1+cot^2x)=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
diviene dunque
[math]\\sin^2x(1/(\\cos^2x))+\\cos^2x(1/(\\sin^2x))=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
ovvero
[math](\\sin^2x)/(\\cos^2)+(\\cos^2x)/(\\sin^2x)=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
Toccando sempre e solo il primo membro
[math]\\tan^2x+cot^2x=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
[math]\\tan^2x+1/(\\tan^2x)=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
Sommando
[math](\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)=(\\tan^4x+1)/(\\tan^2x)[/math]
L'identità è pertanto dimostrata.
FINE
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