Risolvere la seguente equazione goniometrica:
[math] frac(\\sin(x + 5/3 ?))(1 - \\cos(x)) - frac(\\cos(x + 2?) + 1)(\\sin(-x)) = 0 [/math]
Svolgimento
Cominciamo ponendo le condizioni di esistenza:
[math]C.E.[/math]
[math]1 - \\cos(x) ?0 o \\cos(x) ?1 o x ?? + 2k? [/math]
[math] \\sin(-x) = \\sin(x) ?0 o x ?k? [/math]
Applichiamo ora le formule di addizione del seno e del coseno; ricordiamo, poi, che essendo la funzione seno una funzione dispari, tale che
[math]f(-x) = - f(x) [/math]
, quindi:
[math] \\sin(-x) = - \\sin(x) [/math]
Applicando le formule di addizione del seno e del coseno:
[math] frac(\\sin(x)\\cos(5/3 ?) + \\cos(x) \\sin(5/3 ?))(1 - \\cos(x)) - frac(\\cos(x)\\cos(2?) - \\sin(x)\\sin(2?) + 1)(-\\sin(x)) = 0 [/math]
Sostituiamo i valori del seno e del coseno degli angoli noti:
[math] frac(\\sin(x) \cdot 1/2 + \\cos(x) \cdot (- frac(\sqrt3){2}))(1 - \\cos(x)) - frac(\\cos(x) \cdot 1 - \\sin(x) \cdot 0 + 1)(-\\sin(x)) = 0 [/math]
[math] frac(1/2 \\sin(x) - frac(\sqrt3){2} \\cos(x) )(1 - \\cos(x)) - frac(\\cos(x) + 1)(-\\sin(x)) = 0 [/math]
[math] frac( frac(\\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x})(2) )(1 - \\cos{x}) - frac(\\cos{x} + 1)(-\\sin{x}) = 0 [/math]
[math] frac( \\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x} )(2 (1 - \\cos{x})) - frac(\\cos{x} + 1)(-\\sin{x}) = 0 [/math]
Calcoliamo ora il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore:
[math] \\sin(x) (\\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x}) + 2 (1 - \\cos{x})(\\cos{x} + 1) = 0 [/math]
[math] \\sin^2(x) - \sqrt3 \\sin{x}\\cos{x} + 2 (1 - \\cos^2{x}) = 0 [/math]
[math] \\sin^2(x) - \sqrt3 \\sin{x}\\cos{x} + 2 - 2\\cos^2{x} = 0 [/math]
Trasformiamo
[math]\\cos^2(x)[/math]
in [math]1 - \\sin^2(x)[/math]
:
[math] \\sin^2(x) - \sqrt3 \\sin{x}\\cos{x} + 2 - 2(1 - \\sin^2{x}) = 0 [/math]
[math] \\sin^2(x) - \sqrt3 \\sin{x}\\cos{x} + 2 - 2 + 2\\sin^2{x}) = 0 [/math]
[math] 3 \\sin^2(x) - \sqrt3 \\sin{x}\\cos{x} = 0 [/math]
Eseguiamo un raccoglimento totale:
[math] \\sin(x) [3 \\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x}] = 0 [/math]
Risolviamo con la legge dellannullamento del prodotto:
[math] \\sin(x) = 0 o x = k? [/math]
Questa soluzione, tuttavia, non accettabile, poich era stata esclusa nelle condizioni di esistenza.
[math] 3 \\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x} = 0 [/math]
Dividiamo per
[math]\\cos(x)[/math]
, ponendo lo stesso diverso da zero:
[math]\\cos(x) ?0 o x ??/2 + k? [/math]
[math] frac(3 \\sin(x) - \sqrt3 \\cos{x})(\\cos{x}) = 0 [/math]
[math] frac(3 \\sin(x))(\\cos(x)) - \sqrt3 = 0 [/math]
[math] 3 tg(x) - \sqrt3 = 0 [/math]
[math] tg(x) = frac (\sqrt3){3} o x = ?/6 + k? [/math]
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