Trigonometria: sqrt(2)+sin2(pi-2x)=1

di _Steven

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Trovare le radici che soddisfano la seguente equazione

[math]\sqrt{2}[\\sin(\pi-2x)+sen(\pi/2 -2x)]+\\sin2(\pi-2x)=1[/math]

Conosciamo delle semplici identità che possono essere facilmente verificate sulla circonferenza goniometrica.

[math]\\sin(\pi-2x)=\\sin(2x)[/math]

[math]\\sin(\pi/2-2x)=\\cos(2x)[/math]

[math]\\sin(2(\pi-2x))=\\sin(2\pi-4x)=-\\sin4x=-2\\sin(2x)\\cos(2x)[/math]

ottenuta con una semplice moltiplicazione e l'uso della formula di bisezione.

Infine vale

[math]1=\\sin^2(2x)+\\cos^2(2x)[/math]

Veniamo ora all'equazione, osservando che l'abbiamo trasformata usando le formule scritte di sopra

[math]\sqrt2 \cdot {\\sin(2x)+\\cos(2x)}-2\\sin(2x)\\cos(2x)-(\\sin^2(2x)+\\cos^2(2x))=0[/math]

Ora osserviamo gli ultimi tre termini: togliendo l'ultima parentesi, otteniamo

[math]-2\\sin2x\\cos2x-\\sin^2(2x)-\\cos^2(2x)[/math]

ovvero

[math]-(sen2x+\\cos2x)^2[/math]

Perciò possiamo affermare che l'equazione diventa

[math]\sqrt2 \cdot {\\sin(2x)+\\cos(2x)}-{\\sin(2x)+\\cos(2x)}^2=0[/math]

ovvero raccogliendo a fattor comune

[math](\\sin2x+\\cos2x)(\sqrt2-\\sin2x-\\cos2x)=0[/math]

che comporta quindi che una parentesi deve annullarsi

[math]\\sin2x+\\cos2x=0[/math]

[math]\\sin2x+\\cos2x=\sqrt2[/math]

Osserviamo la prima

Ora

[math]\\sin2x+\\cos2x=0[/math]

Dividendo ambo i membri per

[math]\\cos2x[/math]

che non è soluzione, otteniamo

[math]tg2x=-1[/math]

che significa

[math]2x=3/4\pi+k\pi->x=3/8\pi+k\pi/2[/math]

Ora invece

[math]\\sin2x+\\cos2x=\sqrt2[/math]

è semplice perchè è vera quando

[math]\\cos2x=\\sin2x=1/2\sqrt2[/math]

e quindi quando

[math]2x=\pi/4+2k\pi->x=\pi/8+k\pi[/math]

La soluzione può essere trovata anche con il metodo grafico.

In conclusione le soluzioni sono

[math]x=\pi/8+k\pi[/math]

[math]x=3/8\pi+k\pi/2,k in ZZ[/math]

Trigonometria: sqrt(2)[sin(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sin2(pi-2x)=1

Trovare le radici che soddisfano la seguente equazione sqrt(2)[sin(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sin2(pi-2x)=1 Conosciamo delle semplici identità che possono essere facilmente verificate sulla circonferenza goniometrica. sin(pi-2x)=sin(2x) sin(pi/

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