Trigonometria: Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione cos(x) = frac(2 - k)(k) determinare: ...

Data un'uguaglianza goniometrica parametrica, determinare il parametro k affinché esso soddisfi le condizioni date

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale

[math]k[/math]

affinché abbia significato la relazione

[math] \\cos(x) = frac(2 - k)(k) [/math]

determinare:

  1. quali valori può assumere
    [math]k[/math]
    se
    [math] x ∈ [ π ; 3/2 π] [/math]
    ;
  2. se
    [math] x ∈ [ π ; 3/2 π ) [/math]
    qual è l'espressione di
    [math]tg(x)[/math]
    in funzione di
    [math]k[/math]
    ;
  3. quali valori può assumere
    [math]k[/math]
    se
    [math] x ∈ [ - π/2 ; 0 ) [/math]
    e qual è l'espressione di
    [math]cotg(x)[/math]
    in funzione di
    [math]k[/math]
    .

Svolgimento (0)

Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra

[math]-1[/math]

e

[math]1[/math]

, sappiamo che

[math]\\cos(x)[/math]

deve essere compreso in questo intervallo; quindi:

[math] -1 ≤ \\cos(x) ≤ 1 [/math]

[math] -1 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]

Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ - 1 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(2 - k)(k) ≥ - 1 [/math]

[math] frac(2 - k)(k) + 1 ≥ 0 [/math]

[math] frac(2 - k + k)(k) ≥ 0 [/math]

[math] frac(2)(k) ≥ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ [/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] k > 0[/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]

[math] frac(2 - k)(k) - 1 ≤ 0 [/math]

[math] frac(2 - k - k)(k) ≤ 0 [/math]

[math] frac(2 - 2k)(k) ≤ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to 2 - 2k ≥ 0 \to k ≤ 1 [/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

studio_del_segno

[math] k > 0 ∨ k ≥ 1[/math]

Passiamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\
k end{array}\right.
[math][/math]

Affinché la relazione abbia significato deve essere che

[math] k ≥ 1 [/math]

.

Svolgimento (1)

Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di

[math]x[/math]

, cioè

[math] x ∈ [π ; 3/2 π ] [/math]

, troviamo i valori di

[math]\\cos(x )[/math]

in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:

[math] x = π \to \\cos(x) = \\cos(180°) = -1 [/math]

[math] x = 3/2 π \to \\cos(x) = \\cos(3/2 π) = \\cos(270°) = 0 [/math]

Abbiamo quindi che

[math]\\cos(x)[/math]

deve essere compreso nell'intervallo fra

[math]-1[/math]

e

[math]0[/math]

:

[math] -1 ≤ \\cos(x) ≤ 0 [/math]

[math] -1 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 0 [/math]

Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ - 1 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione.

[math] frac(2 - k)(k) ≥ - 1 [/math]

[math] frac(2 - k)(k) + 1 ≥ 0 [/math]

[math] frac(2 - k + k)(k) ≥ 0 [/math]

[math] frac(2)(k) ≥ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ [/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] k > 0[/math]

Passiamo alla seconda:

[math] frac(2 - k)(k) ≤ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to 2 - k ≥ 0 \to k ≤ 2 [/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

[math]k > 0 ∨ k ≥ 2 [/math]

Mettiamo a sistema le soluzioni ottenute:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\
k end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] k ≥ 2 [/math]

Svolgimento (2)

Essendo

[math]x ∈ [ π ; 3/2 π ) [/math]

sappiamo che l'angolo appartiene al terzo quadrante, poiché abbiamo che

[math]π = 180°[/math]

e

[math]3/2 π = 270° [/math]

.

La tangente di quest'angolo, che ha seno e coseno negativi, è positiva, quindi abbiamo che:

[math] tg(x) = frac(\\sin (x))(\\cos(x)) [/math]

Determiniamo il seno dell'angolo:

[math] \\sin (x) = - \sqrt{1 - \\cos^2(x)} = - \sqrt(1 - (frac(2 - k)(k))^2) = - \sqrt(1 - frac(4 + k^2 - 4k)(k^2)) = [/math]

[math] - \sqrt{ frac(k^2 - 4 - k^2 + 4k)(k^2) } = - \sqrt(frac(- 4 + 4k)(k^2)) [/math]

Avendo posto come condizione di esistenza

[math]k >= 1[/math]

, possiamo portate il quadrato fuori radice:

[math] - \sqrt{frac(- 4 + 4k)(k^2)} = - frac(\sqrt(4(k - 1)))(k) = - frac(2 \sqrt(k - 1))(k) [/math]

Troviamo ora la tangente dell'angolo:

[math] tg(x) = frac(\\sin (x))(\\cos(x)) = frac(- frac(2 \sqrt{k - 1})(k))(frac(2 - k)(k)) = [/math]

[math] - frac(2 \sqrt{k - 1})(k) \cdot frac(k)(2 - k) = - frac(2 \sqrt{k - 1})(2 - k) = frac(2 \sqrt{k - 1})(k - 2) [/math]

Svolgimento (3)

Essendo

[math]x ∈ [ - π/2 ; 0 ) [/math]

, troviamo i valori di

[math]\\cos(x)[/math]

in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:

[math] x = - π/2 \to \\cos(x) = \\cos(270°) = 0 [/math]

[math] x = 0 \to \\cos(x) = \\cos(0°) = 1 [/math]

Abbiamo quindi che

[math]\\cos(x)[/math]

deve essere compreso nell'intervallo fra

[math]0[/math]

e

[math]1[/math]

:

[math] 0 ≤ \\cos(x) ≤ 1 [/math]

[math] 0 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]

Risolviamo impostando un sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ 0 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(2 - k)(k) ≥ 0[/math]

[math] N ≥ 0 \to 2 - k ≥ 0 \to k ≤ 2 [/math]

[math] D > 0 \to k > 0[/math]

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] 0 > k ≤ 2 [/math]

Passiamo alla seconda:

[math] frac(2 - k)(k) > 1 [/math]

[math] frac(2 - k)(k) - 1 > 0 [/math]

[math] frac(2 - k - k)(k) > 0 [/math]

[math] frac(2 - 2k)(k) > 0 [/math]

[math] N > 0 \to 2 - 2k > 0 \to k > 1 [/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

[math] k > 0 ∨ k > 1 [/math]

Mettiamo a sistema le soluzioni:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
0 k 1&
end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] 1 > k ≤ 2 [/math]

Considerando l'intervallo in cui è compresa

[math]x[/math]

, sappiamo che l'angolo si trova nel quarto quadrante, con coseno positivo e seno negativo:

[math] \\cos(x) = frac(2 - k)(k) , \\sin (x) = - frac(2 \sqrt{k - 2})(k) [/math]

Determiniamo

[math]cotg(x)[/math]

in funzione di

[math]k[/math]

:

[math] cotg(x) = frac(\\cos(x))(\\sin (x)) = frac(frac(2 - k)(k))(- frac(2 \sqrt{k - 1})(k)) = [/math]

[math] frac(2 - k)(k) \cdot (- frac(k)(2 \sqrt{k - 1})) = - frac(2 - k)(2 \sqrt{k - 1}) = frac(k - 2)(2 \sqrt{k - 1}) [/math]

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