Trigonometria: Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione sin(x) = frac(k)(k-1) determinare: ...

Data un'uguaglianza goniometrica e parametrica, determinare il parametro k affinché siano soddisfatte le condizioni date

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione

[math]\\sin (x) = frac(k)(k-1) [/math]

determinare:

  1. Quali valori può assumere
    [math]k[/math]
    se
    [math] x ∈ [ 0 ; π/6][/math]
    ;
  2. Se
    [math] x ∈ [ π/2 ; π] [/math]
    qual è l'espressione di
    [math]\\cos(x)[/math]
    in funzione di
    [math]k[/math]
    ;
  3. Se
    [math] x ∈ [ - π/2 ; 0] [/math]
    qual è l'espressione di
    [math]\\cos(x)[/math]
    in funzione di
    [math]k[/math]
    ;

Svolgimento (0)

Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra

[math]-1[/math]

e

[math]1[/math]

, sappiamo che

[math]\\sin (x)[/math]

deve essere compreso in questo intervallo; quindi:

[math] -1 ≤ \\sin (x) ≤ 1 [/math]

[math] -1 ≤ frac(k)(k-1) ≤ 1 [/math]

Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k ≠ 1 &\
-1 ≤ frac{k}{k-1} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Nel nostro sistema, la disequazione può essere scomposta nel seguente modo:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{k}{k-1} ≥ - 1 &\
frac{k}{k-1} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(k)(k-1) ≥ - 1 [/math]

[math] frac(k)(k-1) + 1 ≥ 0 [/math]

[math] frac(k + k - 1)(k-1) ≥ 0 [/math]

[math] frac(2k - 1)(k-1) ≥ 0 [/math]

[math] N ≥ 0[/math]

[math] 2k - 1 ≥ 0 \to k ≥ 1/2 [/math]

[math] D > 0[/math]

[math] k -1 > 0 \to k > 1[/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] k ≤ 1/2 ∨ k > 1 [/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] frac(k)(k-1) ≤ 1 [/math]

[math] frac(k)(k-1) - 1 ≤ 0 [/math]

[math] frac(k - k - 1)(k-1) ≤ 0 [/math]

[math] frac(1)(k-1) ≤ 0 [/math]

[math] N ≥ 0[/math]

[math] 1 ≥ 0 \to ∀ k ∈ ℜ [/math]

[math] D > 0[/math]

[math] k -1 > 0 \to k > 1[/math]

Sudiamo il segno e determiniamo le soluzioni prendendo questa volta gli intervalli negativi:

studio_del_segno

[math] k > 1 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k ≤ 1/2 ∨ k > 1 &\
k end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni, ricordando che oltre alle condizioni del sistema, dobbiamo porre

[math] k ≠ 1 [/math]

:

La relazione, quindi, ha significato solo per

[math] k >= 1/2 [/math]

.

Svolgimento (1)

Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di

[math]x[/math]

, cioè

[math] x ∈ [0 ; π/6] [/math]

, troviamo i valori di

[math]\\sin (x)[/math]

in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:

[math] x = 0 \to \\sin (x) = \\sin(0°) = 0 [/math]

[math] x = π/6 \to \\sin (x) = \\sin(π/6) = \\sin(30°) = 1/2 [/math]

Abbiamo quindi che

[math]\\sin (x)[/math]

deve essere compreso nell'intervallo fra

[math]0[/math]

e

[math]1/2[/math]

[math] 0 ≤ \\sin (x) ≤ 1/2 [/math]

[math] 0 ≤ frac(k)(k-1) ≤ 1/2 [/math]

Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{k}{k-1} ≥ 0 &\
frac{k}{k-1} ≤ 1/2 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(k)(k-1) ≥ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to k ≥ 0 [/math]

[math] D > 0 \to k - 1 > 0 \to k > 1 [/math]

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

studio_del_segno

[math] k ≤ 0 ∨ k > 1 [/math]

Passiamo alla seconda disequazione:

[math] frac(k)(k-1) ≤ 1/2 [/math]

[math] frac(k)(k-1) - 1/2 ≤ 0 [/math]

[math] frac(2k - k + 1)(k-1) ≤ 0 [/math]

[math] frac(k + 1)(k-1) ≤ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 \to k + 1 ≥ 0 \to k ≥ - 1[/math]

[math] D > 0 \to k - 1 ≥ 0 \to k > 1 [/math]

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

studio_del_segno

[math] - 1 ≤ k > 1 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k ≤ 0 ∨ k > 1 &\
- 1 ≤ k end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] - 1 ≤ k ≤ 0 [/math]

Svolgimento (2)

Nel caso in cui

[math]x ∈ [π/2 ; π] [/math]

, sappiamo che, poiché

[math] π/2 = 90° [/math]

e

[math]π = 180°[/math]

, l'angolo in questione si troverà nel secondo quadrante, e avrà quindi seno positivo e coseno negativo.

Determiniamo quindi il suo coseno in funzione di

[math]k[/math]

:

[math] \\cos(x) = - \sqrt{1 - \\sin ^2(x)} = - \sqrt(1 - (frac(k)(k-1))^2) = - \sqrt(1 - frac(k^2)(k^2 + 1 - 2k)) [/math]

[math] = - \sqrt{ frac(k^2 + 1 - 2k - k^2)(k^2 + 1 - 2k) } = - \sqrt(frac(1 - 2k)(k^2 + 1 - 2k)) [/math]

[math] = - \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} [/math]

Sapendo che

[math]k[/math]

deve essere minore di

[math]1/2[/math]

per le condizioni poste in precedenza, possiamo portare il quadrato fuori radice solo rendendolo positivo, cioè cambiandogli segno:

[math] - \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} = - frac(\sqrt(1 - 2k))(1 - k) = frac(\sqrt(1 - 2k))(k - 1) [/math]

Svolgimento (3)

Se

[math] x ∈ [- π/2 ; 0] [/math]

, sappiamo che l'angolo si trova nel quarto quadrante, poiché

[math] - π/2 = 3/2 π = 270° [/math]

.

Abbiamo quindi seno negativo e coseno positivo:

[math] \\cos(x) = \sqrt{1 - \\sin ^2(x)} = \sqrt(1 - (frac(k)(k-1))^2) = \sqrt(1 - frac(k^2)(k^2 + 1 - 2k)) = [/math]

[math] \sqrt{ frac(k^2 + 1 - 2k - k^2)(k^2 + 1 - 2k) } = \sqrt(frac(1 - 2k)(k^2 + 1 - 2k)) = [/math]

[math] \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} = frac(\sqrt(1 - 2k))(1 - k) [/math]

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