Trigonometria: Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione sin(x) = frac(k)(k-1) determinare: ...

di _francesca.ricci

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Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione

[math]\\sin (x) = frac(k)(k-1) [/math]

determinare:

Quali valori può assumere
[math]k[/math]
se
[math] x â [ 0 ; π/6][/math]
;
Se
[math] x â [ π/2 ; π] [/math]
qual è l'espressione di
[math]\\cos(x)[/math]
in funzione di
[math]k[/math]
;
Se
[math] x â [ - π/2 ; 0] [/math]
qual è l'espressione di
[math]\\cos(x)[/math]
in funzione di
[math]k[/math]
;

Svolgimento (0)

Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra

[math]-1[/math]

[math]1[/math]

, sappiamo che

[math]\\sin (x)[/math]

deve essere compreso in questo intervallo; quindi:

[math] -1 â¤ \\sin (x) â¤ 1 [/math]

[math] -1 â¤ frac(k)(k-1) â¤ 1 [/math]

Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k â 1 &\
-1 â¤ frac{k}{k-1} â¤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Nel nostro sistema, la disequazione può essere scomposta nel seguente modo:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{k}{k-1} â¥ - 1 &\
frac{k}{k-1} â¤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(k)(k-1) â¥ - 1 [/math]

[math] frac(k)(k-1) + 1 â¥ 0 [/math]

[math] frac(k + k - 1)(k-1) â¥ 0 [/math]

[math] frac(2k - 1)(k-1) â¥ 0 [/math]

[math] N â¥ 0[/math]

[math] 2k - 1 â¥ 0 \to k â¥ 1/2 [/math]

[math] D > 0[/math]

[math] k -1 > 0 \to k > 1[/math]

Studiamo il segno:

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] k â¤ 1/2 â¨ k > 1 [/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] frac(k)(k-1) â¤ 1 [/math]

[math] frac(k)(k-1) - 1 â¤ 0 [/math]

[math] frac(k - k - 1)(k-1) â¤ 0 [/math]

[math] frac(1)(k-1) â¤ 0 [/math]

[math] N â¥ 0[/math]

[math] 1 â¥ 0 \to â k â â [/math]

[math] D > 0[/math]

[math] k -1 > 0 \to k > 1[/math]

Sudiamo il segno e determiniamo le soluzioni prendendo questa volta gli intervalli negativi:

studio_del_segno

[math] k > 1 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k â¤ 1/2 â¨ k > 1 &\
k end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni, ricordando che oltre alle condizioni del sistema, dobbiamo porre

[math] k â 1 [/math]

La relazione, quindi, ha significato solo per

[math] k >= 1/2 [/math]

Svolgimento (1)

Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di

[math]x[/math]

, cioè

[math] x â [0 ; π/6] [/math]

, troviamo i valori di

[math]\\sin (x)[/math]

in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:

[math] x = 0 \to \\sin (x) = \\sin(0°) = 0 [/math]

[math] x = π/6 \to \\sin (x) = \\sin(π/6) = \\sin(30°) = 1/2 [/math]

Abbiamo quindi che

[math]\\sin (x)[/math]

deve essere compreso nell'intervallo fra

[math]0[/math]

[math]1/2[/math]

[math] 0 â¤ \\sin (x) â¤ 1/2 [/math]

[math] 0 â¤ frac(k)(k-1) â¤ 1/2 [/math]

Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{k}{k-1} â¥ 0 &\
frac{k}{k-1} â¤ 1/2 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] frac(k)(k-1) â¥ 0 [/math]

[math] N â¥ 0 \to k â¥ 0 [/math]

[math] D > 0 \to k - 1 > 0 \to k > 1 [/math]

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

studio_del_segno

[math] k â¤ 0 â¨ k > 1 [/math]

Passiamo alla seconda disequazione:

[math] frac(k)(k-1) â¤ 1/2 [/math]

[math] frac(k)(k-1) - 1/2 â¤ 0 [/math]

[math] frac(2k - k + 1)(k-1) â¤ 0 [/math]

[math] frac(k + 1)(k-1) â¤ 0 [/math]

[math] N â¥ 0 \to k + 1 â¥ 0 \to k â¥ - 1[/math]

[math] D > 0 \to k - 1 â¥ 0 \to k > 1 [/math]

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

studio_del_segno

[math] - 1 â¤ k > 1 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k â¤ 0 â¨ k > 1 &\
- 1 â¤ k end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] - 1 â¤ k â¤ 0 [/math]

Svolgimento (2)

Nel caso in cui

[math]x â [π/2 ; π] [/math]

, sappiamo che, poiché

[math] π/2 = 90° [/math]

[math]π = 180°[/math]

, l'angolo in questione si troverà nel secondo quadrante, e avrà quindi seno positivo e coseno negativo.

Determiniamo quindi il suo coseno in funzione di

[math]k[/math]

[math] \\cos(x) = - \sqrt{1 - \\sin ^2(x)} = - \sqrt(1 - (frac(k)(k-1))^2) = - \sqrt(1 - frac(k^2)(k^2 + 1 - 2k)) [/math]

[math] = - \sqrt{ frac(k^2 + 1 - 2k - k^2)(k^2 + 1 - 2k) } = - \sqrt(frac(1 - 2k)(k^2 + 1 - 2k)) [/math]

[math] = - \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} [/math]

Sapendo che

[math]k[/math]

deve essere minore di

[math]1/2[/math]

per le condizioni poste in precedenza, possiamo portare il quadrato fuori radice solo rendendolo positivo, cioè cambiandogli segno:

[math] - \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} = - frac(\sqrt(1 - 2k))(1 - k) = frac(\sqrt(1 - 2k))(k - 1) [/math]

Svolgimento (3)

[math] x â [- π/2 ; 0] [/math]

, sappiamo che l'angolo si trova nel quarto quadrante, poiché

[math] - π/2 = 3/2 π = 270° [/math]

Abbiamo quindi seno negativo e coseno positivo:

[math] \\cos(x) = \sqrt{1 - \\sin ^2(x)} = \sqrt(1 - (frac(k)(k-1))^2) = \sqrt(1 - frac(k^2)(k^2 + 1 - 2k)) = [/math]

[math] \sqrt{ frac(k^2 + 1 - 2k - k^2)(k^2 + 1 - 2k) } = \sqrt(frac(1 - 2k)(k^2 + 1 - 2k)) = [/math]

[math] \sqrt{frac(1 - 2k)((k-1)^2)} = frac(\sqrt(1 - 2k))(1 - k) [/math]

Trigonometria: Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione sin(x) = frac(k)(k-1) determinare: ...