Risolvere la seguente equazione goniometrica:
[math] frac(1 - \\cos(2x))(1 + \\cos(2x)) = tg(x)[/math]
Svolgimento
Determiniamo le condizioni di esistenza:
[math]C.E.[/math]
$ 1 + cos(2x) ?0 to cos(2x) ?-1 to 2x ?? + 2k? to
[math] x ??/2 + k? [/math]
[math] ?tg(x) : x ??/2 + k? [/math]
[math] frac(1 - \\cos(2x))(1 + \\cos(2x)) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) [/math]
Applichiamo le formule di duplicazione:
[math] frac(1 - (2\\cos^2(x) - 1))(1 + 2\\cos^2(x) - 1) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) [/math]
[math] frac(1 - 2\\cos^2(x) + 1)( 2\\cos^2(x) ) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) [/math]
[math] frac(2 - 2\\cos^2(x))( 2\\cos^2(x) ) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) [/math]
[math] frac(1 - \\cos^2(x))( \\cos^2(x) ) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] frac(1 - \\cos^2(x))( \\cos^2(x) ) - frac(\\sin(x))(\\cos(x)) = 0 [/math]
[math] frac(1 - \\cos^2(x) - \\cos(x)\\sin(x) )( \\cos^2(x) ) = 0 [/math]
Poniamo
[math]\\cos^2(x) ?0 o \\cos(x) ?0 o x ??/2 + k? [/math]
ed eliminiamo il denominatore:
[math] 1 - \\cos^2(x) - \\cos(x)\\sin(x) = 0 [/math]
[math] \\cos^2(x) + \\cos(x)\\sin(x) = 1 [/math]
Dalla relazione fondamentale sappiamo che
[math] \\cos^2(x) + \\sin^2(x) = 1 [/math]
; possiamo sostituire questa scrittura al numero 1 dellequazione:
[math] \\cos^2(x) + \\cos(x)\\sin(x) = \\cos^2(x) + \\sin^2(x) [/math]
[math] \\cos^2(x) + \\cos(x)\\sin(x) - \\cos^2(x) - \\sin^2(x) = 0 [/math]
[math] \\cos(x)\\sin(x) - \\sin^2(x) = 0 [/math]
Raccogliamo:
[math] \\sin(x) (\\cos(x) - \\sin(x)) = 0 [/math]
Risolviamo con la legge dellannullamento del prodotto:
[math] \\sin(x) = 0 o x = k? [/math]
[math] \\cos(x) = \\sin(x) o x = ?/4 + k? [/math]
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