Indice
Definizione
Se
[math](\Omega, \bar{A}, P)[/math]
è uno spazio di probabilità , una variabile aleatoria (scalare) è una funzione [math]X: \Omega \to \mathbb{R}[/math]
tale che
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) \le t} in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
Una variabile aleatoria continua scalare è una variabile aleatoria scalare che può assumere un'infinità non numerabile di valori.
Esempio: la variabile aleatoria
[math]X = \text{tempo di vita di un animale}[/math]
è una variabile aleatoria continua.
Proprietà
Se
[math](\Omega, \bar{A}, P)[/math]
è uno spazio di probabilità e [math]X: \Omega \to \mathbb{R}[/math]
è una variabile aleatoria, allora
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) > t } in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) per ogni
[math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) \ge t} in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) = t } in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
Per semplicità notazionale, si pone
[math]{X \in A} =_{\text{def}} {\omega in \Omega: X(\omega) in A}[/math]
[math]{X
Funzione di distribuzione di probabilità
Se
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria, si definisce funzione di distribuzione di probabilità
[math]F_X(x) = P({X \le x})[/math]
Proprietà
[math]P(a (supposto
[math]a )
[math]P(X > a) = 1 - F_X(a)[/math]
[math]0 \le F_X(x) \le 1[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]F_X(x)[/math]
è una funzione non decrescente
[math]\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0[/math]
[math]\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1[/math]
[math]F_X(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} F_X(x)[/math]
, per ogni [math]x_0 \in \mathbb{R}[/math]
([math]F_x[/math]
è continua da destra)
Esempio: la funzione di Heaviside, definita da
[math]H(x) = \egin{cases} 0 & \quad \text{se } x
è una funzione di distribuzione di probabilità , infatti ne rispetta tutte le proprietà .
Caso in cui [math]F_X[/math] è continua
Se
[math]F_X[/math]
è continua in [math]x[/math]
, allora
[math]P(X = x) = 0[/math]
Se
[math]F_X[/math]
è continua per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
, e [math]a , allora
[math]P(a
Funzione di densità di probabilità
Definizione
Una funzione
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
si una dice densità di probabilità se soddisfa queste due proprietà
[math]f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1[/math]
Data una variabile aleatoria
[math]X[/math]
con funzione di distribuzione [math]F_X(x)[/math]
, e data una densità [math]f(x)[/math]
, la variabile [math]X[/math]
ha densità di probabilità [math]f_X(x) = f(x)[/math]
se e solo se
[math]F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du[/math]
[math]\quad \forall x \in \mathbb{R}[/math]
Proprietà
- Se
[math]F_X[/math]
è differenziabile con derivata continua, allora
[math]f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)[/math]
- Se
[math]X[/math]
ammette, come densità , una funzione [math]f_X(x)[/math]
, essa non è unica (basta modificarne il valore in un insieme di misura nulla).
- Se
[math]X[/math]
ha densità di probabilità [math]f_X(x)[/math]
, e [math]a , allora
[math]P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) dx[/math]
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