Si consideri una variabile aleatoria
[math]X[/math]
uniformemente distribuita nell'intervallo [math][5, 10][/math]
. Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria [math]Y = \frac{1}{X}[/math]
.
La densità di probabilità di
[math]X[/math]
vale
[math]f_{X}(\xi) = \begin{cases} \frac{1}{5} & \text{se } 5 \le \xi \le 10 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
La densità di probabilità di
[math]Y[/math]
vale
[math]f_{Y}(\eta) = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{X}(\xi_i)}{|g'(\xi_i)|} [/math]
dove
[math]Y = g(X) = \frac{1}{X}[/math]
, [math]g(\xi_1) = g(\xi_2) = \ldots = g(\xi_m) = \eta[/math]
e [math]g'(x) = \frac{d}{dx} g(x)[/math]
.In questo caso risulta
[math]\eta = \frac{1}{\xi}[/math]
, da cui [math]\xi = \frac{1}{\eta}[/math]
, per cui
[math]5 \le \xi \le 10 \implies \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}[/math]
ed inoltre
[math]g'(x) = - \frac{1}{x^2}[/math]
.Se
[math]\eta \frac{1}{5}[/math]
allora [math]f_{Y} (\eta) = 0[/math]
, dato che in tale intervallo la densità di probabilità di [math]X[/math]
è nulla.Se invece
[math]\frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}[/math]
risulta
[math]f_{Y}(\eta) = \frac{f_X(\frac{1}{\eta})}{|g'(\frac{1}{\eta})|} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{\frac{1}{\eta^2}}} = \frac{1}{5 \eta^2}[/math]
Di conseguenza la densità di probabilità di
[math]Y[/math]
vale
[math]f_Y(\eta) = \begin{cases} \frac{1}{5\eta_2} & \text{se } \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5} \\ 0 & \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math]
Si vede che tale funzione è sempre non negativa per ogni
[math]\eta \in \mathbb{R}[/math]
. Inoltre
[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} \frac{1}{5 \eta^2} d \eta = -\frac{1}{5} [\frac{1}{\eta}]_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{5} (5 - 10) = -\frac{1}{5} (-5) = 1[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
