Definizione
Se
[math](\Omega, \bar{A}, P)[/math]
è uno spazio di probabilità , una variabile aleatoria (scalare) è una funzione [math]X: \Omega \to \mathbb{R}[/math]
tale che
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) \le t} in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
Una variabile aleatoria discreta scalare è una variabile aleatoria scalare che può assumere un numero finito o, al più, un'infinità numerabile di valori (senza punti di accumulazione).
Esempio: supponiamo di avere un dado (a sei facce) non truccato. Se definiamo
[math]X = \egin{cases} 1 & \quad \text{se esce } 1 \\ 2 & \quad \text{se esce } 2 \\ 3 & \quad \text{se esce } 3 \\ 4 & \quad \text{se esce } 4 \\ 5 & \quad \text{se esce } 5 \\ 6 & \quad \text{se esce } 6 \ \end{cases}[/math]
allora
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria discreta.
Proprietà
Se
[math](\Omega, \bar{A}, P)[/math]
è uno spazio di probabilità e [math]X: \Omega \to \mathbb{R}[/math]
è una variabile aleatoria, allora
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) > t } in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) per ogni
[math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) \ge t} in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
[math]{\omega \in \Omega: X(\omega) = t } in \bar{A}[/math]
per ogni [math]t \in \mathbb{R}[/math]
Per semplicità notazionale, si pone
[math]{X \in A} =_{\text{def}} {\omega in \Omega: X(\omega) in A}[/math]
[math]{X
La probabilità di eventi del tipo
[math]{X \in A}[/math]
equivale a
[math]P({X \in A}) = \sum_{x_k in A} P({X = x_k})[/math]
Esempio: calcolare la probabilità che, lanciando un dado non truccato, esca un numero pari. Sia
[math]X[/math]
la variabile aleatoria discerta definita nell'esempio precedente, si richiede di calcolare [math]P({X \in A})[/math]
, dove [math]A = {2, 4, 6}[/math]
. Data l'ipotesi di equiprobabilità vale
[math]P({X = 1}) = P({X = 2}) = P({X = 3}) = P({X = 4}) = P({X = 5}) = P({X = 6}) = \frac{1}{6}[/math]
quindi
[math]P({X \in A}) = \sum_{x_k in A} P({X = x_k}) = P({X = 1}) + P({X = 2}) + P({X = 3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}[/math]
Densità di probabilità discreta
Se
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria discreta, la funzione
[math]p(x_k) = P({X = x_k})[/math]
si chiama funzione di densità di probabilità discreta. Se
[math]x[/math]
non è uno dei valori assunti da [math]X[/math]
, vale [math]p(x) = P({X = x}) = 0[/math]
.
Proprietà
- Una densità di probabilità discreta è una funzione
[math]p: \mathbb{R} \to [0,1][/math]
- Vale
[math]p(x) > 0[/math]
in (al più) un'infinità numerabile di punti, [math]x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots[/math]
, e [math]p(x) = 0[/math]
altrove
- Risulta
[math]\sum_{k=1}^{+\infty} p(x_k) = 1[/math]
, se [math]{x_k}_{k=1}^{+\infty}[/math]
è l'insieme di tutti e soli i valori che la variabile aleatoria può assumere
Esempio: sia
[math]X[/math]
la variabile aleatoria definita nei due esempi precedenti. Data l'ipotesi di equiprobabilità , la sua densità di probabilità vale
[math]p(x) = \egin{cases} \frac{1}{6} & 6} \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math]
Esempio: supponiamo di avere una moneta truccata, in modo che la probabilità che esca testa valga
[math]p[/math]
, la probabilità che esca croce valga [math]1 - p[/math]
, e supponiamo di lanciarla [math]n[/math]
volte. La variabile aleatoria [math]X = \text{
umero di volte che esce testa}[/math]
è una variabile aleatoria discreta, e la sua densità di probabilità vale umero di volte che esce testa}[/math]
[math]p(k) = \egin{cases} ((n \\ k)) p^k (1-p)^{n-k} & n} \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math]
[math]p(k)[/math]
indica la probabilità che esca testa per [math]k[/math]
volte su [math]n[/math]
lanci. La probabilità che esca testa [math]k[/math]
volte è [math]p^k[/math]
(sono eventi indipendenti, ognuno con probabilità [math]p[/math]
), la probabilità che esca croce nei restanti casi (che sono [math]n-k[/math]
) è [math](1-p)^{n-k}[/math]
(sono eventi indipendenti, ognuno con probabilità [math]1-p[/math]
), i possibili modi con cui possono accadere questi eventi sono [math]C_{n,k} = ((n),(k))[/math]
, pertanto la probabilità che escano [math]k[/math]
teste su [math]n[/math]
lanci è proprio [math]((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k}[/math]
. Notare che
[math]\sum_{k=0}^{+\infty} p(k) = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k} = (p + 1 - p)^n = 1^n = 1[/math]
(binomio di Newton)
Quando una variabile aleatoria
[math]X[/math]
segue questa densità di probabilità si dice che è distribuita come una binomiale [math]B(n, p)[/math]
, e si scrive [math]X sim B(n, p)[/math]
.
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