Definizione
Una variabile aleatoria vettoriale continua è un vettore di variabili aleatorie scalari continue
[math]X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)[/math]
, oppure [math]X = ((X_1),(X_2),(vdots),(X_n))[/math]
dove ogni componente
[math]X_i[/math]
, [math]1 \le i \le n[/math]
, è una variabile aleatoria scalare continua.
Funzione di distribuzione di probabilità congiunta
Se
[math]X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)[/math]
è una variabile aleatoria vettoriale, e [math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n[/math]
è un generico vettore di [math]\mathbb{R}^n[/math]
, allora la funzione di distribuzione congiunta di [math]X[/math]
è data da
[math]F_X(x) = P({X_1 \le x_1} \cap {X_2 \le x_2} \cap \ldots \cap {X_n \le x_n})[/math]
Funzioni di distribuzione marginali
Se
[math]X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)[/math]
è una variabile aleatoria vettoriale, le funzioni di distribuzione delle componenti di [math]X[/math]
sono dette funzioni di distribuzioni marginali di [math]X[/math]
.
Caso [math]n=2[/math]
Se
[math]X = (X_1, X_2)[/math]
è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione di probabilità [math]F_X(x) =F_X(x_1, x_2)[/math]
, allora le funzioni di distribuzioni marginali valgono
[math]F_{X_1}(x_1) = \lim_{x_2 \to +\infty} F_X(x_1, x_2)[/math]
[math]F_{X_2}(x_2) = \lim_{x_1 \to +\infty} F_X(x_1, x_2)[/math]
Funzione di densità di probabilità congiunta
Una funzione
[math]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/math]
si dice una densità di probabilità se soddisfa queste due proprietà
[math]f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n qquad \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx = 1[/math]
Data una variabile aleatoria vettoriale
[math]X[/math]
con funzione di distribuzione [math]F_X(x)[/math]
e una densità di probabilità [math]f(x)[/math]
, si dice che [math]X[/math]
ha densità di probabilità [math]f_X(x) = f(x)[/math]
se e solo se
[math]F_X(x) = \int_A f(x) dx[/math]
dove
[math]A = {y \in \mathbb{R}^n: y_1 \le x_1, y_2 \le x_2, \ldots, y_n \le x_n}[/math]
, con [math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]
e [math]y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)[/math]
.
Proprietà
- Se
[math]F_X(x)[/math]
è differenziabile su [math]\mathbb{R}^n[/math]
(tranne al più un numero finito di punti), allora
[math]f_X(x) = f_X(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{partial^n}{partial x_1 partial x_2 \ldots partial x_n} F_X(x)[/math]
cioè la densità di probabilità congiunta è la derivata
[math]n[/math]
-esima mista della funzione di distribuzione congiunta.
- Se
[math]X[/math]
ha densità di probabilità [math]f_X(x)[/math]
, la probabilità di eventi [math]{X \in B}[/math]
equivale a
[math]P({X \in B}) = \int_B f_X(x) dx[/math]
, per ogni [math]B subseteq \mathbb{R}^n[/math]
Funzioni di densità di probabilità marginali
Funzioni di densità di probabilità marginali
Se
[math]X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)[/math]
è una variabile aleatoria vettoriale, le densità di probabilità delle variabili aleatorie scalari [math]X_1, X_2, \ldots, X_n[/math]
si chiamano densità di probabilità marginali di [math]X[/math]
.
Caso [math]n = 2[/math]
Se
[math]X = (X_1, X_2)[/math]
ha densità di probabilità [math]f_X(x_1, x_2)[/math]
, le densità di probabilità marginali valgono
[math]f_{X_1}(x_1) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x_1, x_2) d x_2[/math]
[math]f_{X_2}(x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x_1, x_2) d x_1[/math]
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