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Teoria assiomatica della probabilità


Nella costruzione assiomatica della teoria della probabilità, le operazioni che definiscono il calcolo delle probabilità sono introdotte sulla base di tre assiomi.
Ogni evento casuale è rappresentato dagli elementi di un sottoinsieme dello spazio degli eventi.

Gli assiomi che definiscono la probabilità sono i seguenti.

1) Ad ogni evento casuale E dello spazio degli eventi è associato un numero non negativo P(E) detto probabilità dell’evento E.

2) All’evento U, rappresentato da un insieme che contiene tutto lo spazio degli eventi,è associata una probabilità P(U) = 1.

3) Se gli eventi E1, E2, …, En dello spazio degli eventi sono eventi a due a due incompatibili,allora vale la proprietà (della somma):

[math]P(E_{1}+E_{2}+...+E_{n})=P(E_{1})+P(E_{2})+...+P(E_{n})[/math]

Da questi assiomi si possono ricavare alcuni importanti corollari:

1 – La probabilità associata all’evento impossibile F è zero

[math]P(F) = 0[/math]
Infatti dall’uguaglianza U + F = U e dall’assioma 3) si ha
[math]P(U + F) = P(U)[/math]
[math]P(U) + P(F) = P(U)[/math]
.
Essendo P(U) = 1 ne segue P(F) = 0.

2 – La probabilità dell’evento

[math]\bar{E}[/math]
è
[math]P(\bar{E}) = 1- P(E)[/math]
.
Infatti dall’uguaglianza
[math]E + \bar{E}=U[/math]
e dagli assiomi 2) e 3) si ha
[math]P(E + \bar{E})= P(E) + P(\bar{E}) = P(U) = 1[/math]
e quindi
[math]P(\bar{E})= 1- P(E) [/math]
.
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