Probabilità subordinata

Esempio 1: Supponiamo di avere una scatola contenente gessetti, di cui 10 bianchi e 5 azzurri, e sia \[A\] l’evento “viene estratto un gessetto azzurro”. Come sappiamo, la probabilità di tale evento è \[ P(A) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Supponiamo adesso di aver preventivamente diviso i gessetti in due scatole, delle quali una contiene 4 gessetti azzurri e 6 bianchi e l’altra tutti i rimanenti. Vogliamo di nuovo estrarre un solo gessetto, e quel che ci domandiamo è se la probabilità dell’evento \[A\] sia cambiata rispetto a prima oppure no.

Per risolvere questo enigma introduciamo due nuovi eventi: \[E_1: \text{“viene scelto un gessetto dalla prima scatola”}\] \[E_2: \text{“viene scelto un gessetto dalla seconda scatola”}\] Com’è chiaro, le due scatole hanno la stessa probabilità di essere scelte: dunque \[P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}\]. Quel che cambia è la probabilità di estrarre un gessetto azzurro da ciascuna delle due scatole, ovvero le probabilità condizionate seguenti: \[ P(A|E_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \quad, \quad P(A|E_2) = \frac{1}{5} \] Come noto dalle leggi riguardanti le probabilità condizionate relative ad eventi compatibili e dipendenti, la probabilità dell’evento \[A \cap E_i\], “estrazione di un gessetto azzurro dall’i-esima scatola” è, nei due casi: \[ P(A \cap E_1) = P(E_1)P(A|E_1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \] \[ P(A \cap E_2) = P(E_2)P(A|E_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \] Adesso non resta che notare che i due eventi \[A \cap E_1\] ed \[A \cap E_2\] sono incompatibili, e in quanto tali la loro probabilità totale si calcola semplicemente come somma delle singole probabilità. Ne consegue che \[ P(A) = P((A \cap E_1) \cup (A \cap E_2)) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \ne \frac{1}{3} \] Osservazione 1: A ben pensarci, era evidente sin dall’inizio che avremmo ottenuto un risultato diverso. Infatti, se per esempio la divisione fosse stata tale da mettere tutti i gessetti bianchi in una scatola e tutti gli azzurri nell’altra, il problema sarebbe divenuto equivalente a quello di scegliere la scatola giusta tra due, e avremmo avuto \[P(A) = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3} \]. Definizione 1: Probabilità subordinata. Siano dati

eventi incompatibili tali che \[ P(E_1) + P(E_2) + \ldots + P(E_n) = 1 \] e sia inoltre dato un ulteriore evento \[A\]. Allora la probabilità \[P(A)\] viene detta subordinata a quelle di \[E_1, E_2, \ldots, E_n\], e essa può essere calcolata come \[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(E_i)P(A|E_i) \] Se in particolare , nel qual caso gli eventi ed per ipotesi sono complementari, la formula diviene \[ P(A) = P(E_1) P(A|E_1) + P(E_2) P(A|E_2) \] Esempio 2: Si consideri la frase “LO STUDENTE SOLERTE È PROMOSSO”. Con quale probabilità, scelta prima casualmente una delle parole che la compongono, potremo estrarre da essa una consonante? Tale probabilità è maggiore, uguale o minore rispetto a quella di estrarre una consonante direttamente dalla frase, senza prima scegliere una delle parole? Introduciamo i 5 eventi : “Viene scelta l’i-esima parola” per \[(i \in \{1, \ldots, 5\})\]. Possiamo calcolare subito che \[\forall i \in \{1, \ldots, 5\}, P(E_i) = \frac{1}{5}\] : ciò è determinato dal fatto che ogni parola ha la stessa probabilità di essere scelta. In virtù della loro definizione, gli eventi sono tra loro incompatibili, e la somma delle loro probabilità è 1. Passiamo adesso a calcolare le probabilità condizionate \[P(A|E_i)\], dove naturalmente l’evento \[A\] è l’estrazione di una consonante: \[ P(A|E_1) = \frac{1}{2}, \quad P(A|E_2) = \frac{5}{8}, \quad P(A|E_3) = \frac{4}{7}, \quad P(A|E_4) = 0, \quad P(A|E_5) = \frac{5}{8} \] Applicando adesso la formula della probabilità subordinata, calcoliamo \[ P(A) = \sum_{i=1}^5 P(E_i)P(A|E_i) = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{8} + \frac{4}{7} + 0 + \frac{5}{8} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{65}{28} = \frac{13}{28} \] Per contro, la probabilità di estrarre una consonante dall’intera frase è \[P(A) = \frac{15}{26}\]. Esempio 3: Sia dato un mazzo di carte numerate da 1 a 9. Da esso si vogliono estrarre due carte, senza rimetterle nel mazzo ad estrazione avvenuta, in modo tale che la loro somma abbia la stessa parità della prima carta estratta. Qual è la probabilità che ciò avvenga? Consideriamo l’evento : “La prima carta estratta è un numero pari”, e poniamo [\ E_2 = \bar{E}_1\]. Ne consegue che \[P(E_1) = \frac{4}{9}, P(E_2) = \frac{5}{9}\], che i due eventi ed sono incompatibili e per di più complementari. Con ciò in mente, passiamo a considerare l’evento seguente: \[A: \text{“La seconda carta è tale che la somma delle carte ha la stessa parità della prima carta”}\] Dalla considerazione che la somma di due numeri pari è pari e che la somma di un numero pari e un numero dispari è dispari, deduciamo che in buona sostanza l’evento \[A\] dice \[A: \text{“La seconda carta è pari”}\] Calcoliamo le probabilità condizionate \[P(A|E_1)\] e \[P(A|E_2)\], basandoci sulla quantità di carte pari rimaste in ciascuno dei due casi: \[ P(A|E_1) = \frac{3}{8}, \quad P(A|E_2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Ciò ci consente di concludere che, adoperando la formula della probabilità subordinata, \[ P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{5}{18} = \frac{4}{9} \] Dunque tale eventualità si verifica quasi nella metà dei casi, e curiosamente ha la stessa probabilità di accadere che l’estrazione di una sola carta pari dal mazzo.