Siano
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
due variabili aleatorie scalari aventi densità di probabilità congiunta [math]f_{X,Y} (\xi, \eta)[/math]
. Calcolare la densità di probabilità [math]f_{Z}(\zeta)[/math]
della variabile aleatoria [math]Z = X - Y[/math]
.
Siano
[math]\bar{Z}[/math]
e [math]\bar{X}[/math]
due variabili aleatorie vettoriali, definite come segue
[math]\bar{Z} = [(Z),(X)] \quad \quad \bar{X} = [(X),(Y)][/math]
La densità di probabilità di
[math]\bar{X}[/math]
equivale alla densità di probabilità congiunta di [math]X[/math]
e [math]Y[/math]
, così come la densità di probabilità di [math]\bar{Z}[/math]
equivale alla densità di probabilità congiunta di [math]Z[/math]
e [math]X[/math]
.La variabile aleatoria vettoriale
[math]\bar{Z}[/math]
può essere così espressa
[math]\bar{Z} = [(Z),(X)] = [(X - Y),(X)] = [(1, -1),(1, 0)] [(X),(Y)] = [(1, -1),(1, 0)] \bar{X} = g(\bar{X})[/math]
dove
[math]g(\cdot)[/math]
è per l'appunto l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice
[math]A = [(1, -1),(1, 0)][/math]
Dette
[math]\xi[/math]
, [math]\eta[/math]
, [math]\zeta[/math]
le realizzazioni delle variabili aleatorie [math]X[/math]
, [math]Y[/math]
, [math]Z[/math]
rispettivamente, e posto
[math]\bar{\zeta} = [(\zeta),(\xi)] \quad \quad \bar{\xi} = [(\xi),(\eta)][/math]
allora
[math]\bar{\zeta}[/math]
e [math]\bar{\xi}[/math]
sono le realizzazioni di [math]\bar{Z}[/math]
e [math]\bar{X}[/math]
rispettivamente, e la densità di probabilità di [math]\bar{Z}[/math]
vale
[math]f_{\bar{Z}} (\bar{\zeta}) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{\bar{X}}(\bar{\xi_i})}{|det J(\bar{\xi_i})|}[/math]
dove
[math]g(\bar{\xi_1}) = g(\bar{\xi_2}) = \ldots = g(\bar{\xi_m}) = \zeta[/math]
e
[math]J[/math]
è la matrice Jacobiana di [math]g(\cdot)[/math]
, e vale
[math][(\frac{partial}{partial \xi} (\xi - \eta), \frac{partial}{partial \eta} (\xi - \eta)),(\frac{partial}{partial \xi} \xi, \frac{partial}{partial \eta} \xi)] = [(1, -1),(1, 0)][/math]
pertanto
[math]det J = 1[/math]
. Dato che [math]A[/math]
è una matrice invertibile, allora c'è un solo [math]\bar{\xi_i[/math]
da determinare
[math]g(\bar{\xi_1}) = \bar{\zeta} \quad \implies \quad \bar{\xi_1} = A^{-1} \bar{\zeta} = [(0, 1),(-1, 1)] [(\zeta),(\xi)] = [(\xi),(\xi - \zeta)][/math]
quindi
[math]f_{\bar{Z}}(\bar{\zeta}) = f_{\bar{X}} (\bar{\xi_1})[/math]
ovvero
[math]f_{Z, X}(\zeta, \xi) = f_{X,Y}(\xi, \xi - \zeta)[/math]
Dato che
[math]f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Z,X}(\zeta, \xi) d \xi[/math]
allora
[math]f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(\xi, \xi - \zeta) d \xi[/math]
Nel caso particolare in cui
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
siano due variabili aleatorie indipendenti vale
[math]f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(\xi) f_{Y}(\zeta - \xi) d zi[/math]
FINE
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