Classificazione degli eventi

Definizioni

Definizione 1: Eventi complementari. Due eventi ed si dicono complementari qualora uno di essi sia la negazione dell’altro, ovvero valga, in simboli, che . Definizione 2: Eventi compatibili. Dato un numero naturale maggiore o uguale di 2, eventi si dicono compatibili qualora il verificarsi di uno di essi non impedisca il verificarsi di ciascuno degli altri. In particolare, due eventi ed si dicono compatibili qualora il verificarsi di non impedisca il verificarsi di , e viceversa. Definizione 3: Eventi incompatibili. Dato un numero naturale maggiore o uguale di 2, eventi si dicono incompatibili qualora il verificarsi di uno di essi impedisca il verificarsi di qualsiasi altro degli eventi. In particolare, due eventi ed si dicono incompatibili qualora il verificarsi di impedisca il verificarsi di , e viceversa. Definizione 4: Eventi indipendenti. Dato un numero naturale maggiore o uguale di 2, eventi compatibili si dicono indipendenti qualora il verificarsi di uno di essi non modifichi la probabilità di verificare ciascuno degli altri. In particolare, due eventi compatibili ed si dicono indipendenti qualora il verificarsi di non modifichi la probabilità di verificare , e viceversa. Definizione 5: Eventi dipendenti. Dato un numero naturale maggiore o uguale di 2, eventi compatibili si dicono dipendenti qualora il verificarsi di uno di essi modifichi la probabilità di verificare ciascuno degli altri. In particolare, due eventi compatibili ed si dicono dipendenti qualora il verificarsi di modifichi la probabilità di verificare , e viceversa. Osservazione 1: Le definizioni 4 e 5 di eventi indipendenti e dipendenti valgono solo se gli eventi in questione sono già compatibili, cioè possono verificarsi contemporaneamente. Se ed sono incompatibili, allora in effetti il verificarsi di riduce a 0 la probabilità di verificare , dunque in un certo senso essi sono anche dipendenti. Osservazione 2: Due eventi complementari sono di certo incompatibili, ma il contrario non è generalmente vero, e quindi le due definizioni non sono ridondanti. Si confronti anche l’esempio 2.

Esempi

Esempio 1: Consideriamo i due eventi seguenti, relativi all’estrazione di una carta da gioco da un mazzo di carte francesi: \[E_1 = \text{“esce una carta di picche o fiori”}\] \[E_2 = \text{“esce una carta di quadri o cuori”}\] Per forza di cose, se si verificherà non potrà verificarsi , e ciò vale anche al contrario; inoltre uno dei due eventi dovrà necessariamente succedere. Abbiamo cioè e dunque, in virtù della definizione 1, i due eventi sono complementari. Esempio 2: Supponiamo adesso di estrarre due carte una alla volta da un mazzo di carte francesi; consideriamo i tre eventi seguenti: \[E_1 = \text{“la prima carta è l’asso di fiori”}\] \[E_2 = \text{“la seconda carta è di picche”}\] \[E_3 = \text{“la prima carta è di quadri”}\] Gli eventi ed sono incompatibili. Infatti, se la prima carta sarà l’asso di fiori essa di certo non sarà di quadri, e lo stesso vale anche al contrario. Questa era anche la situazione dell’esempio 1, ma in questo caso non è vero che uno dei due eventi o deve verificarsi per forza, in quanto potremmo anche estrarre, ad esempio, una qualsiasi carta di cuori. Dunque ed non sono complementari, come previsto dall’osservazione 2. L’evento , dal canto suo, è compatibile tanto con che con . Infatti, qualunque sia il risultato della prima estrazione, è ancora possibile che la seconda carta pescata sia di picche. Esempio 3: Ancora nel caso dell’esempio 2, distinguiamo le due eventualità seguenti:

• caso 1: dopo aver estratto una carta, questa viene rimessa nel mazzo;
• caso 2: dopo aver estratto una carta, questa viene eliminata.

Consideriamo i due eventi ed , che abbiamo già visto essere compatibili. Nel primo caso, la prima estrazione non ha alcun effetto sulla seconda, dal momento che la prima carta pescata viene rimessa nel mazzo e dunque non c’è nulla che “abbia memoria” dell’avvenuta estrazione. Dunque ed sono anche indipendenti. Nel secondo caso, invece, la prima carta estratta viene eliminata, e sorge una differenza fondamentale: se essa era l’asso di fiori, cioè se si è verificato , allora le carte rimaste per la seconda estrazione sono 51 di cui 13 di picche, e quindi \[P(E_2) = \frac{13}{51}\]. Se invece non si è verificato c’è una certa probabilità (esattamente 1/4) che la prima carta fosse di picche, nel qual caso le carte per la seconda estrazione sono sì 51, ma di queste solo 12 sono di picche. Avremmo allora \[P(E_2) = \frac{12}{51} = \frac{4}{17}\]. La probabilità di nel secondo caso viene modificata dal fatto che si sia verificato o no: ciò rende ed eventi dipendenti.