Esempi elementari di probabilità frequentista

Esempio 1: Si lancia per 10 volte una moneta da 2€, e si ottengono i seguenti risultati: \[ n_{\text{teste}} = 7 \quad , \quad n_{\text{croci}} = 3 \] Si calcolino la probabilità frequentista e quella classica relative all’evento \[ E= \{ \text{esce testa} \} \] Sono uguali? Come mai? Con quale probabilità (classica) è ragionevole aspettarsi che con 10 lanci si verifichi proprio una tale distribuzione di teste e croci? Per il calcolo della probabilità frequentista, tutto ciò che ci serve sapere è il numero \( p_r = 7 \) delle prove riuscite e il numero \( p = 10 \) delle prove effettuate in totale; il risultato sarà allora \[ f(E) = \frac{7}{10} = 0.7 \] Per calcolare la probabilità classica dello stesso evento

, invece, dobbiamo considerare che su

casi possibili (o testa o croce) solo

è favorevole (testa), col che \[ P(E) = \frac{n_f}{n} = \frac{1}{2} = 0.5 \] Osserviamo che le due probabilità ottenute non sono uguali: quella frequentista è molto più alta; d’altro canto, se avessimo considerato l’evento \[ E_1 = \{ \text{esce croce} \} \] avremmo avuto \[ P(E_1) = 0.5 \quad \text{e} \quad f(E_1) = 0.3 \] col che la probabilità frequentista sarebbe stata minore di quella classica. Questa disparità è dovuta al piccolo numero di prove effettuate: se invece di 10 ne avessimo fatte 1000, i due numeri ottenuti sarebbero stati assai più simili. Per rendercene conto, rispondiamo all’ultima richiesta dell’esempio. Il numero totale di possibili risultati scaturiti da 10 lanci di una moneta è \[ n = 2^{10} = 1024 \] poiché ad ogni lancio la moneta può cadere in due posizioni differenti. Il numero di casi in cui si ottiene proprio la distribuzione dell’esempio è \[ n_f = \binom{10}{7} = \frac{10!}{7! \, 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120 \] poiché si deve scegliere tra i 10 lanci 7 di essi perché siano delle teste. Dunque la probabilità dell’evento in questione sarà \[ P(E_2) = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128} \approx 0.12 \] circa il 12%. Nello stesso modo potremmo calcolare la probabilità che invece si osservi il caso “atteso”, cioè 5 teste e 5 croci. In quel caso avremmo circa il 25%. Osservazione 1: L’ultima probabilità calcolata in modo classico si potrebbe trovare anche in maniera frequentista, se lo si volesse. A tale scopo occorrerebbe effettuare un numero molto alto di set di 10 lanci ciascuno, osservando in quanti di essi il numero di croci è esattamente 3. Per la legge dei grandi numeri, il risultato finale dei due calcoli sarebbe lo stesso. Esempio 2: Si supponga di tirare 2 dadi per 100 volte; i risultati ottenuti dalle varie prove sono registrati nel seguente grafico: Si calcolino, esprimendole in percentuale, le probabilità frequentiste dei seguenti eventi:

• il lancio dà come risultato 10;
• il lancio dà come risultato un numero pari;
• i due numeri mostrati dai dadi sono uno pari e uno dispari.

Per trovare le probabilità frequentiste ci occorre in primo luogo il numero

delle prove effettuate; in questo caso sappiamo dall’enunciato che è

. Quante di tali prove hanno dato come risultato esattamente 10? Osservando il grafico scopriamo che il numero

delle prove riuscite è 8, col che \[ f(E_1) = \frac{8}{100} = 8\% \] Per quanto riguarda l’evento

, occorrerà considerare come favorevoli tutte le prove in cui il risultato è stato un numero pari, e cioè 2, 4, 6, 8, 10 o 12. Per questo motivo il loro numero è \[ p_r = 5 + 13 + 17 + 15 + 8 + 9 = 67 \] e la probabilità frequentista di ottenere un risultato pari è \[ f(E_2) = \frac{67}{100} = 67\% \] L’ultimo caso pare riguardare eventi i cui dettagli non sono registrati nel nostro grafico: in un caso come questo, occorrerebbe riferirsi alla probabilità classica, o se ciò è impossibile effettuare nuove prove. In realtà però è facile rendersi conto che le eventualità dell’evento

sono tutte e sole quelle in cui il risultato del lancio è un numero dispari, e che dunque possiamo dire che \[ f(E_3) = 1 - f(E_2) = 1 - \frac{67}{100} = \frac{33}{100} = 33\% \] Tale calcolo semplificato è lecito in quanto il risultato del lancio è sempre o pari, o dispari. Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Statistica e probabilità del forum.