Probabilita composta e condizionata: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità composta. Siano dati eventi . Si definisce probabilità composta di e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)\) la probabilità che si verifichino tutti gli eventi considerati contemporaneamente. Definizione 2: Probabilità condizionata. Siano dati 2 eventi ed compatibili e dipendenti. Si definisce probabilità condizionata di al verificarsi di e si indica con il simbolo \(P(E_2 | E_1)\) la probabilità che si verifichi una volta che si è già verificato. Formula 1: Probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti. Siano dati eventi compatibili indipendenti . La loro probabilità composta si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n) = \prod_{i=1}^n P(E_i) \] In particolare, se gli eventi compatibili indipendenti sono solo due la formula si riduce a \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) \] Formula 2: Probabilità composta di due eventi compatibili dipendenti. Siano dati 2 eventi compatibili dipendenti ed . La loro probabilità composta si calcola usando questa formula: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2 | E_1) \] Osservazione 1: La definizione 2 di probabilità condizionata si dà solo nel caso in cui i due eventi in questione sono compatibili e dipendenti, perché negli altri casi essa restituirebbe risultati banali. Se ed sono incompatibili, una volta che si è verificato , non potrà più verificarsi, cosicché \(P(E_2 | E_1) = 0\). Qualora invece avessimo che ed sono sì compatibili, ma indipendenti, allora in virtù solo della definizione di eventi indipendenti abbiamo che \(P(E_2 | E_1)\), ovvero la probabilità di non risulta modificata dal fatto che si è già verificato. Osservazione 2: Per quanto appena osservato, la formula 1 non è che un caso particolare della formula 2 in cui, essendo ed indipendenti, abbiamo che \(P(E_2 | E_1) = P(E_2)\).

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di estrarre due carte da gioco da un mazzo di carte francesi, avendo cura di reinserire nel mazzo la prima carta dopo l’estrazione; consideriamo i due seguenti eventi: \[E_1: \text{“la prima carta estratta è un sette”}\] \[E_2: \text{“la seconda carta estratta non è di picche”}\] Calcoliamo la probabilità composta dei due eventi. Poiché, come ben precisato nel testo dell’esercizio, le carte estratte vengono rimesse nel mazzo, i due eventi sono necessariamente compatibili e indipendenti; infatti la prima carta estratta non ha nessun modo di influenzare la seconda. Non dobbiamo far altro che usare la formula 1: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{4}{52} \cdot \frac{39}{52} = \frac{3}{52} \] Esempio 2: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che la maggiore è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi. In questo esempio non viene precisato quali siano gli eventi in questione; ragionando un poco possiamo supporre che essi siano i seguenti: \[E_1: \text{“il primo figlio è femmina”}\] \[E_2: \text{“i due figli sono un maschio e una femmina”}\] Ora, è chiaro che \(P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}\). Infatti la probabilità che il primo figlio sia femmina è naturalmente una su due; inoltre, considerate tutte le 4 diverse combinazioni dei sessi dei figli (MM, MF, FM, FF), solo 2 di queste sono “miste” (MF, FM) e quindi soddisfano l’evento . Ciò che vogliamo calcolare è la probabilità di \(P(E_2 | E_1)\), ovvero semplicemente una probabilità condizionata. Una volta esclusa la possibilità che il primo figlio sia maschio, i casi che possono verificarsi nel secondo evento sono solo (FM, FF), e di questi solamente (FM) è favorevole. La probabilità composta è allora \(P(E_2 | E_1) = \frac{1}{2}\). Si osservi che il fatto che essa sia uguale a \(P(E_2)\) è da ascriversi a casualità, come dimostra l’esempio seguente. Esempio 3: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che uno di essi è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi. Come spesso capita in probabilità, una variazione apparentemente irrilevante del testo cambia del tutto ragionamenti e risultati. La probabilità che vogliamo calcolare è ancora \(P(E_2 | E_1)\), ma stavolta l’evento 1 è \[E_1: \text{“uno dei due figli è femmina”}\] e non è quindi necessariamente cronologicamente precedente al secondo, come lo era nell’esempio 2. La differenza sta nel fatto che, in base alle informazioni fornite dall’evento , questa volta non possiamo più escludere la combinazione (MF) come facevamo prima. I casi possibili per \(P(E_2 | E_1)\) sono (MF, FM, FF), di cui due (MF, FM) sono favorevoli; ne deduciamo che la probabilità condizionata stavolta è, contro ogni aspettativa, \(P(E_2 | E_1) = \frac{2}{3}\). Si estraggono da un'urna di 90 numeri 5 numeri senza reintroduzione (tipo l'enalotto). Dati i 2 eventi:A = "vinco alla prima estrazione"B = "vinco alla seconda estrazione" (settimana successiva)Devo calcolare la probabilità di fare cinquina alla seconda estrazione dato che ho perso la prima.