Modelli matematici sull'evoluzione della demografia mondiale

A. Urso - Modelli matematici sull’evoluzione demografica mondiale

Introduzione

Sappiamo che l'attuale popolazione mondiale di quasi sette miliardi viene mantenuta e

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continua a crescere per via dell’impiego di energia esterna, in particolare il petrolio, da cui dipende

l’alimentazione della società umana. Nel 1840 Justus Von Liebig pubblicò il frutto delle sue

ricerche nel famoso libro "La chimica organica e le sue applicazioni all’agricoltura ed alla

fisiologia" che divenne ben presto un testo adottato in diverse università. Nasce così l’agricoltura

moderna basata sui concimi chimici e la loro diffusione su larga scala soprattutto a partire dalla fine

del XIX secolo favorendo così enormemente la produzione agricola. Questi concimi chimici in

seguito uniti con gli antiparassitari e i diserbanti a partire dagli inizi del XX secolo vengono

fabbricati in enormi quantità grazie al petrolio, realizzando così quasi per magia una straordinaria

quantità di cibo, che ha creato un fenomeno che non ha avuto precedenti nella storia dell’uomo, cioè

una esplosione demografica sconcertante, dovuta soprattutto alle “popolazioni povere” delle nazioni

in via di sviluppo, e che solo da qualche anno accenna a rallentare.

Tale rallentamento è dovuto al fatto che il petrolio è una fonte energetica non rinnovabile.

L’esaurimento di questa risorsa infatti è segnalato dal cosiddetto picco di Hubbert che molti studi

1

diversi considerano ormai trascorso. Dal picco petrolifero dipende strettamente il picco delle risorse

alimentari e quindi il picco demografico mondiale (che costituisce quindi un interessante

indicatore). Poiché nessun’altra fonte energetica è abbastanza abbondante ed economica per

prenderne il posto un futuro decremento della popolazione umana della Terra è a questo punto

inevitabile.

La popolazione mondiale dei secoli passati (prima dello sfruttamento intensivo del petrolio)

crebbe fin tanto che le risorse disponibili nel suo territorio lo permettevano, dopodiché raggiunse un

equilibrio pressoché stabile con le risorse rinnovabili. Quindi nel lontano passato non c’è stata una

vera e propria “crescita demografica” nel senso che generalmente oggi si intende e cioè

interpretabile come una funzione sempre crescente con il tempo, ma semmai una progressiva serie

di equilibri, che secondo le risorse disponibili permettevano un aumento o un decremento della

popolazione locale, ma che comunque non avrebbero mai permesso di superare certi limiti. Del

resto dalle statistiche sul numero degli abitanti locali trovate in antichi manoscritti (che spesso

riflettono solo i limiti delle conoscenze dell’epoca) non si possono fare estrapolazioni generali

affidabili.

Prime Teorie

Le prime teorie che cercavano di prevedere lo sviluppo numerico della popolazione nel tempo

iniziarono già nel XIII secolo con i numeri di Fibonacci e il suo modello sulla riproduzione dei

conigli. Nel 1798 il modello di Malthus calcolò che una popolazione di una specie qualsiasi se può

avere accesso ad una fonte energetica illimitata seguirà una crescita esponenziale descritta dalla

seguente equazione: dp = kp (1)

dt

Dove abbiamo indicato con k il tasso di crescita complessivo, considerando cioè sia il numero

delle nascite che delle morti.

Un modello più raffinato che può spiegare il fatto che nel corso dei millenni la popolazione della

terra non abbia potuto espandersi oltre un certo limite è quello di Verhulst (1837):

In termini più rigorosi si tratta di un massimo relativo.

1 2

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 

dp p

 

= −

kp 1 (2)

 

dt p

 

0

tale equazione può rappresentare l’evoluzione della popolazione di una specie che si sviluppa

secondo la disponibilità delle fonti energetiche rinnovabili fino ad una soglia massima p raggiunta

0

in un tempo teorico infinito. L'equazione logistica qui rappresentata si può anche generalizzare in

modo da tenere conto in modo esauriente di tutti gli aspetti legati all'inerzia demografica .

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Il modello da applicare invece per le fonti energetiche non rinnovabili , deve essere in grado di

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prevedere in modo corretto lo sviluppo della popolazione mondiale del XX e XXI secolo, che

scopre le enormi potenzialità dell’energia ricavabile principalmente dal petrolio, e che per il suo

aumento necessita di un consumo sempre più grande, per cui la quantità totale disponibile di tale

risorsa subisce un declino piuttosto rapido fino al raggiungimento di un valore di picco con

conseguente picco della curva delle risorse alimentari. Tale situazione è rappresentabile dal

seguente sistema di due equazioni differenziali che mette il relazione le risorse alimentari x con la

popolazione p:  dx = − b p

 1

dt



 (3)

 dp = − +

a p b xp

 2 2

 dt

Se poi vogliamo considerare la presenza simultanea di fonti rinnovabili capaci di mantenere la

popolazione stabile ad un livello numerico costante p in assenza di fonti non rinnovabili avremo

0

facilmente:  dx ( )

= − −

b p p

 1 0

dt



 (4)

( )

 −

d p p ( ) ( )

= − − + −

0 a p p b x p p

 2 0 2 0

 dt

La soluzione della (4) è, a meno di una costante additiva, una hubbertiana:

c

= +

p p (5)

+

0 2 e e −

+

kt kt

dove c e p sono delle costanti da determinare secondo le condizioni al contorno; indicando con

0

τ = −

t t , avremo:

M ( )

−

2 p p

= + M 0

p p (6)

0 τ

+

1 cosh k

( )

Dove naturalmente il punto corrisponde al massimo relativo.

t ; p

M M 3

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Applicazioni

Per applicare quindi il modello al caso umano useremo le seguenti schematizzazioni:

1) La popolazione umana si è sviluppata in un tempo lontano, indefinito, sfruttando le fonti

energetiche rinnovabili fino al raggiungimento di un valore di soglia p .

0

2) L’uomo scopre prima lentamente poi ad un certo punto sempre più velocemente il modo di

sfruttare le enormi potenzialità delle fonti non rinnovabili presenti nel territorio, la popolazione

quindi cresce numericamente a ritmi vertiginosi, abbandonando praticamente lo sfruttamento delle

fonti rinnovabili considerate poco remunerative; questo fino a raggiungere un valore numerico

massimo.

3) Con l’esaurimento di tali risorse la popolazione inizia dopo un certo periodo di tempo a scendere

numericamente in modo praticamente esponenziale e simmetrico, fino al raggiungimento di un

valore finale di soglia uguale a quello iniziale p sostenuto dalle fonti energetiche rinnovabili.

0

Prima di continuare dobbiamo fare una semplice analisi statistica dei dati per individuare il flesso

da dare alla funzione (6). Quindi esaminando il massimo valore delle le variazioni annuali di

popolazione nel tempo il flesso dopo della nostra funzione si vede che cade circa nel 1989 ovvero

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nell'intorno [1988; 1990] se consideriamo una incertezza di almeno 1 anno.

Nel grafico sottostante si può vedere questo andamento dove la variazione annuale del numero di

abitanti è stato indicato in miliardi, e il tempo in anni. 2

grafico 1 - Analisi statistica del punto di flesso

I punti neri rappresentano i dati oggettivi.

2 4

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Prendiamo come esempio il caso limite con flesso nel 1990: usando la (6) otteniamo:

11

.

4

= +

p 1

.

5 τ = −

; (con: ) (7)

t 2022

( )

τ

+

1 cosh 24

.

3

Dal seguente grafico possiamo avere un idea più chiara dell’andamento della funzione:

grafico 2 - Possibile evoluzione demografica mondiale

Conclusioni

Se i valori del punto di flesso si mantengono nell'intervallo [1988; 1990] e se questo modello

simmetrico è sufficientemente corretto allora i valori di picco cadono rispettivamente nell'intervallo

[2013; 2022]; da notare come la curva rappresentata nel grafico 2 si adatti molto bene ai valori dati.

Vediamo quindi che il massimo viene raggiunto nel 2022 con un valore di 7.2 miliardi di abitanti

(anche se intorno al picco sono possibili piccole oscillazioni) mentre il valore di soglia p si attesta

0

su 1.5 miliardi di abitanti. 5