Combinatoria - Disuguaglianze - Esercizi

Combinatoria - Disuguaglianze - Esercizi

Ecco di seguito degli esercizi svolti, commentati passo dopo passo.

Esercizio 1
Abbiamo a disposizione i coefficienti 2 e 3, e tre variabili x, y, z.
Quanti sono i monomi composti da tali coefficienti e tali variabili(non necessariamente devono comparire tutti), con grado minore o uguale a 5?

Svolgimento
Considerare un monomio a tre variabili di grado minore o uguale a 5 significherebbe considerare gli esponenti delle variabili x, y e z.
Ciò implica a trovare tutte le coppie di interi positivi (x, y, z) tali che x+y+z 5, che sono

Esercizio 2
Possiedo 8 palline e 5 ceste.

Svolgimento
Il problema implica ad analizzare tutti i gruppi di 5 numeri interi positivi che sommati tra loro danno un valore minore o uguale a 8. È necessario specificare anche un valore minore di 8 poiché ci sono delle palline che potrebbero rimanere fuori dalle ceste.
La soluzione del problema è quindi

Olimpiadi della Matematica - Semifinale Nazionale 2018 - Problema 12
I circuiti del tempo sono stati danneggiati da un fulmine: ora la DeuLerean può raggiungere solo gli anni di quattro cifre tali che la cifra delle migliaia sia maggiore o uguale alla somma delle altre tre. “Poco male” dice DOC, e
calcola rapidamente in quanti anni diversi può viaggiare. Che numero trova? Si intende che un numero di quattro
cifre ha la cifra delle migliaia non nulla.

Svolgimento
È molto semplice, bisogna porre tutti i casi in cui ci sono 3 interi positivi che sommati danno un valore minore o uguale a 1, 2, 3... fino a 9, perché nel nostro sistema di numerazione, la cifra più alta che può avere un numero è 9.
Quindi troviamo tutte le terne (a, b, c) di numeri interi tali che a+b+c