Analisi frattale degli indici di borsa: struttura irregolare e dimensioni frattali

MIBTEL

0 0

Aprile -1 Maggio 2003

1 d

1 Aprile 1.4406

2 Aprile 1.1699

3 Aprile 1.4854

4 Aprile 1.0995

5 Aprile 0.88452

8 Aprile 1.0780

9 Aprile 1.2224

10 Aprile 1.1520

11 Aprile 1.1699

12 Aprile 1.1255

15 Aprile 1.3626

16 Aprile 1.5025

17 Aprile 1.1155

18 Aprile 0.89308

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Analisi frattale e valutazioni finanziarie R. IEMBO, M. SQUILLANTE, A. VENTRE

19 Aprile 1.0589

22 Aprile 1.2224

23 Aprile 1.0875

24 Aprile 0.91754

25 Aprile 1.0875

26 Aprile 0.93289

29 Aprile 1.3219

30 Aprile 1.2479

1 Maggio 1.3626

Nella tabella successiva riportiamo i dati relativi al calcolo della dimensione frattale (d) del grafico del

0 0

fib 30 dal 1 Aprile al 1 Maggio 2003 del grafico dell’indice di borsa in esame.

FIB 30

0 0

Aprile-1 Maggio 2003

1 d

1 Aprile 1.2479

2 Aprile 1.2479

3 Aprile 1.1375

4 Aprile 0.87447

8 Aprile 0.73697

9 Aprile 1.0875

10 Aprile 1.2016

11 Aprile 1.3923

15 Aprile 0.80735

16 Aprile 1.1926

17 Aprile 1.2224

18 Aprile 1.0995

22 Aprile 0.77761

23 Aprile 1.1926

24 Aprile 1.4150

25 Aprile 1.1699

29 Aprile 0.77761

30 Aprile 0.91754

1 Maggio 1.1699

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4. Autoaffinità

Esaminiamo ora il grafico che rappresenta l’andamento del mibtel per la settimana 3-10 Maggio 2003.

e valutiamo la dimensione frattale a scale piuttosto dettagliate.

δ

Per che varia tra cm 0.5 e cm 0.1, la stima ottenuta per la dimensione frattale del grafico è d

=1.0823;

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δ

mentre, esaminando le restrizioni ad opportuni sottointervalli, per che varia tra cm 0.5 e cm 0.1, la

corrispondente valutazione della dimensione frattale è riportata nella seguente tabella:

lunedì d = 0.93454

- martedì d = 1.2732

- mercoledì d = 1.0922

- giovedì d = 1.0244

- venerdì d = 1.1133

- 1

Analogamente, analizzando il grafico che rappresenta l’indice mib 30 da Agosto 2002 a Maggio 2003

1 da Focus di “ Milano Finanza” del 10 Maggio 2003

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δ

per che varia tra cm 0.5 e cm 0.1, troviamo che la dimensione frattale del grafico è d = 1.4256;

mentre esaminando anche in questo caso il grafico per sottointervalli otteniamo i seguenti valori per la

dimensione:

Agosto d = 1.4217

- Settembre d = 1.4149

- Ottobre d = 1.4375

- Novembre d = 1.4460

- Dicembre d = 1.4610

- Gennaio d = 1.5525

- Febbraio d = 1.5937

- Marzo d = 1.4384

- Aprile d = 1.5175

- Maggio d = 1.1630

-

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Dai valori ottenuti si evince che, esaminando a scale dettagliate uno qualsiasi di questi oggetti frattali,

non si individua, in maniera simile a quanto messo in evidenza per fenomeni idrogeologici

[4], un valore univoco della dimensione frattale; è quindi lecito pensare ciascuna di queste strutture

come un insieme di differenti frattali, ciascuno con un differente valore di dimensione box-counting; si

ha, insomma, uno spettro di numeri che fornisce informazioni sulla distribuzione delle dimensioni frat-

tali nella struttura: siamo quindi, anche in questo caso, in presenza di oggetti multifrattali.

Osservando ulteriori fenomeni in ambito finanziario (nel settore borsistico, monetario, azionario o ob-

bligazionario), come nel grafico sottostante in cui è riportato l’andamento dell’euro nel 2002 rispetto al

dollaro

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si vede che non è possibile parlare di autosimilarità in senso stretto, proprio per il processo di genera-

zione decisamente random dei grafici di tali oggetti: vi è difatti una differente scalarizzazione in “dire-

zione orizzontale”, la direzione tempo e in “direzione verticale”, il cambio.

E’ possibile però osservare l’invarianza di scala di tali grafici.

0 -1

e la direzione verticale del fattore 2

Se scaliamo la direzione orizzontale del fattore 2

osserviamo che vi sono “regioni” che hanno la stessa forma propriamente riscalata

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