Eadem Mutata Resurgo (Cos'è un frattale)

Eadem mutata resurgo

Allievo Claudio Beggiato, V A

Scuola Navale Militare “Francesco Morosini” – Venezia

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Introduzione

In questa tesina si parlerà di frattali, un argomento relativamente nuovo che sta affascinando molti studiosi e incuriosendo anche il pubblico meno esperto; dopo una breve premessa sulle geometrie non euclidee che sono alla base della geometria frattale ci addentreremo sull’analisi delle caratteristiche di queste curiose figure.

Alle analisi, accompagnate da esempi e dimostrazioni, seguirà una descrizione dei frattali e dei metodi di costruzione frattale più importanti e un’introduzione alla teoria del caos sia dal punto di vista fisico, attraverso gli attrattori e l’entropia, che da un punto di vista filosofico esplorando le possibili conseguenze nel pensiero umano.

Dopo una breve ma significativa galleria sulla nuova arte frattale, la tesina si conclude con la motivazione del suo titolo. Per quanto concerne la bibliografia e la sitografia sono stati segnalati tutti i testi e i siti consultati, anche se utilizzati solo per semplici spunti nello sviluppo dei molti argomenti trattati.

Premessa

Prima di addentrarci nel mondo dei frattali è necessario precisare che in questa fantastica realtà vige la geometria non euclidea.

I greci per primi spiegarono con ragionamenti le proprietà delle figure geometriche, andando oltre l’intuizione, a differenza degli egizi. Euclide per primo cercò di mettere ordine alle conoscenze fino ad allora acquisite con gli “Elementi”, che costituiscono il punto di partenza per l’insegnamento elementare della geometria.

La geometria razionale si basa sugli enti primitivi, cioè enti che non vengono definiti esplicitamente.

Euclide distingueva tra assiomi e postulati: gli assiomi esprimono principi generali della logica e i postulati contengono affermazioni di carattere geometrico; si usa usarli come sinonimi e attribuiscono proprietà, che per la loro evidenza supponiamo essere vere e che caratterizzano gli enti primitivi dandone una definizione implicita.

Stabilito un certo numero di assiomi, si deducono mediante ragionamenti altre proprietà. La scelta degli assiomi è fatta con una certa libertà, fermo restando che devono essere soddisfatti alcuni requisiti. Si ottengono diversi tipi di geometria come conseguenza delle scelte fatte sugli assiomi.

All’interno di uno stesso tipo di geometria alcune proprietà degli enti primitivi sono tali che assumendo una di esse come assioma le altre risultano come conseguenza e viceversa, si dice in questo caso che gli assiomi sono equivalenti. Gli assiomi scelti non devono contraddirsi tra loro e non devono essere uno conseguenza logica dell’altro. La geometria euclidea si basa sugli assiomi scelti da Euclide negli Elementi.

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo) ma non si può in fendere se prima non s’impara ad intender la lingua e conoscere i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche. Galileo Galilei

Si possono costruire geometrie che non accettano alcuni assiomi della geometria euclidea e per questo sono dette geometrie non euclidee. Il punto di partenza che ha determinato la nascita delle geometrie non euclidee è stato il postulato delle parallele.

Esso afferma che per un punto A non appartenente ad una retta r passa una ed una sola retta r’ parallela alla retta r.

Occorre sottolineare che questo postulato, noto anche come quinto postulato, è negli Elementi di Euclide espresso in una forma equivalente. Questo postulato non era evidente come gli altri, pertanto molti matematici pensarono di poterlo ricavare dagli altri, ma tutti i tentativi si rivelarono infruttuosi.

Finché verso il 1730 i matematici Saccheri e Lambert affrontarono il problema in maniera differente, cioè negarono per assurdo la validità del postulato delle parallele ottenendo tutta una serie di conseguenze molto diverse dai teoremi classici.

Per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo non risulterebbe mai uguale ad un angolo piatto. In ogni caso nessuna di queste proposizioni contraddice uno dei teoremi della geometria euclidea che non dipendono da questo postulato. Si è costruito pertanto un sistema logico-formale perfettamente coerente.

La negazione del quinto postulato può essere fatta ammettendo uno dei seguenti postulati: non esiste nessuna parallela per il punto esterno alla retta; esistono più di una retta per il punto esterno.

La geometria di Riemann

Verso la prima metà del 1800 il matematico B. Riemann costruì un modello di geometria non euclidea sostituendo il V postulato euclideo con il precedente postulato. Riemann assunse come enti primitivi:

• Il piano costituito da una qualunque superficie sferica;
• Il punto costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica;
• La retta costituita da una qualunque circonferenza massima.

È facile verificare che per questo modello valgono i postulati della geometria euclidea ad eccezione del V postulato di Euclide perché sostituito dal postulato A.

Infatti:

Per due punti passa una ed una retta:

Per un punto passano infinite rette, nella geometria di Riemann significa che per due punti (C,D) diametralmente opposti passano infinite circonferenze massime;

Nella geometria di Riemann il V postulato diventa: non esiste alcuna retta r’ (circonferenza massima) passante per un punto (coppia di punti (A,B) diametralmente opposti) parallela ad una retta r (circonferenza massima). Infatti due rette (circonferenze massime) si incontrano in un punto (coppia di punti C e D diametralmente opposti)

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Cos’è un frattale?

“.....Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi....” Benoit Mandelbrot

La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.

Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.

Le “strutture patologiche” ideate dai matematici dell’Ottocento hanno assunto negli ultimi anni la forma di frattali, figure matematiche dotate di dimensioni frazionarie e non intere, come invece accade per le figure della geometria Euclide (le rette, che hanno dimensione uno, i piani, che hanno dimensione due…).

Il termine frattale è stato coniato da Benoit Mandelbrot, del quale più tardi parleremo, nel 1975, cercando per l’appunto un nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, è stato tratto dal latino fractus, da frangere, cioè “rompere”, poiché la dimensione di un frattale non è intera.

Fu nel 1983 che il concetto di frattale acquisì vastissima notorietà presso i matematici, gli scienziati e il pubblico non specializzato, con la pubblicazione dell’opera pionieristica “The Fractal Geometry” of Nature dello stesso matematico Mandelbrot.

Per essere riconosciuto come tale, un frattale deve però possedere alcune caratteristiche fondamentali, ovvero:

• Autosimilarità;
• Perimetro nullo o illimitato;
• Area finita o nulla;
• Dimensione non intera;
• Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione;
• Dinamica caotica;

Ma diamo attraverso questo spettacolare video una pittoresca anteprima:

Il frattale di Mandelbrot

La frattalità è un modo d’immaginare la forma del cosmo e la forma del fiume, dell’infinito e del finito... Susan Condé

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Autosimilarità

Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma. Questo non vuol dire che basta una vaga somiglianza se siamo sotto il dominio della matematica, simile è un termine univoco.

Ad esempio, due poligoni sono simili se e solo se hanno gli angoli uguali e i lati in proporzione.

I mattoni, infatti, pur se di forma rettangolare non hanno i lati in proporzione; se osserviamo, invece, la figura di destra notiamo che il rettangolo più grande contiene esattamente quattro rettangoli uguali al più piccolo: avendo, quindi, gli angoli uguali ed i lati in proporzione, i due rettangoli sono simili.

Dunque il rettangolo piccolo si potrebbe ottenere riducendo i lati del maggiore della metà.

Un esempio comune di similitudine si ha nel caso delle fotocopie, che possono essere riprodotte anche in scala.

Nel caso di una linea costiera rimane invariata, in scala, l’irregolarità, ed è per questo che anche un particolare somiglia tanto a tutta la costa.

Nel caso di molti oggetti naturali, come ad esempio le felci, una parte non è esattamente in scala con il tutto, ma è molto somigliante e per questo parliamo di autosomiglianza statistica.

Se invece aumentassimo il raggio un arco di circonferenza sempre di più questo tenderebbe a diventare un segmento.

I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali simili.

La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all’interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d’ingrandimento che usiamo.

Questo fatto ci permette di riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici istruzioni da ripetersi più volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe, con le metodologie tradizionali, centinaia di valori numerici.

Le classiche misure euclidee sono inadeguate a descrivere un frattale!

.....il libro della natura e’ scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto...

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Perimetro illimitato

“E mi sovvien l’eterno…” G. Leopardi

Il perimetro di molti frattali può tendere a infinito, mentre l’area resta finita.

Considerazioni sul calcolo del perimetro

Il terzo assioma della distanza ci assicura che, dati nel piano tre punti, A, B e C, AB ≤ AC + BC; il segno di uguaglianza vale se e soltanto se A, B e C sono allineati e C è compreso fra A e B.

AB = AC + BC AB < AC + BC (disuguaglianza triangolare)

Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone subisce una riduzione, d’altra parte il numero di segmenti aumenta: sostituiamo come minimo due segmenti ad ognuno dei precedenti, e dunque la lunghezza complessiva, per l’assioma della distanza, aumenta.

Il processo di costruzione di un frattale si ripete all’infinito, dunque il perimetro di un frattale tende ad infinito:

Inizio: 1 segmento di 27 quadretti. Primo passo: 5 segmenti di 9 quadretti. Secondo passo: 25 segmenti quadretti di 3 quadretti...

Mediante la legge di formazione del frattale possiamo prevedere quanto sarà il perimetro al passo successivo, e comunque è facile intuire che, al tendere dei passi ad infinito, anche il perimetro tende ad infinito.

Anche nella realtà il concetto di lunghezza presenta dei limiti quando vogliamo misurare una linea estremamente irregolare. Mandelbrot si era posto il problema con la sua famosa domanda: “Quanto è lunga la costa della Bretagna?”

Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato. Se cerchiamo di essere sempre più precisi, visto che ad ogni passo troviamo sempre le stesse irregolarità, vediamo che la misura non converge verso un ben definito valore ma anzi, aumenta (anche se, in questo caso, non possiamo prevedere di quanto!)

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Se misuriamo la distanza fra due punti in linea d’aria, troveremo una certa lunghezza.

Se misuriamo la distanza tra gli stessi due punti, ad esempio, a grandi passi, ecco che troviamo una lunghezza maggiore.

Più cerchiamo di aumentare la precisione e più la lunghezza aumenta.

La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infinita, perché non potremo dividere indefinitamente i tratti da misurare, ma l’andamento delle successive misurazioni ricorda quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi.

In effetti l’affermazione di Mandelbrot voleva mettere in evidenza la natura dei frattali riferendosi all’immagine familiare di una costa frastagliata. È la matematica che garantisce l’esistenza effettiva dei frattali e delle loro proprietà caratteristiche.

Perimetro nullo

Alcuni frattali, come ad esempio la polvere di Cantor, possono avere perimetro nullo in quanto, all’infinito, si riducono a punti isolati.

L’insieme di Cantor

Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che si può avere un insieme con un numero infinito non numerabile di punti ma di lunghezza nulla.

L’insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:

1. Prendiamo come figura di partenza un segmento: poniamo per comodità la lunghezza = 1;
2. Eliminiamo dal segmento la terza parte centrale: otteniamo 2 segmenti di lunghezza = 1/3;
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati: otteniamo 4 segmenti di lunghezza = 1/9;
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati: otteniamo 8 segmenti di lunghezza = 1/27;

Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. È quindi facile dedurre che al passo k:

-k -k k

• La misura di un lato è 3 [ricordo che 3 = (1/3) ];
• Il numero di segmenti è 2 .

Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite.

Come figura limite si ottiene l’insieme di Cantor, un frattale. Le sue caratteristiche? Senza dubbio sorprendenti. Osserviamole.

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Come varia la lunghezza?

La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti.

Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a:

Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all’insieme.

Il fatto dipende dalla costruzione dell’insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più eliminato.

L’insieme di Cantor, per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere.

Qual è la dimensione?

Consideriamo il secondo passo della costruzione della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno dei quali è simile al precedente ed esattamente di lunghezza uguale ad 1/3 del precedente.

Dunque la dimensione dell’insieme di Cantor è log 2 / log 3, approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto, ma meno di una linea!

È autosimile?

La risposta è affermativa, infatti la struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all’interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d’ingrandimento che usiamo.

L’insieme di Cantor presenta quindi pienamente le caratteristiche di un frattale.

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Area finita

Il contorno dei frattali, pur avendo lunghezza infinita, è racchiuso in un’area limitata.

Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch

L’area del fiocco di neve è limitata perché è contenuta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.

Il triangolo è inscrivibile in un cerchio.

Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo è detto circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati.

Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide con il baricentro, il punto di incontro delle mediane. Il baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell’altra.

Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilatero è quindi i 2/3 dell’altezza. Indichiamo con l’area del triangolo.

S

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Dopo il primo passo

La figura è costituita dall’unione di due triangoli equilateri uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato AB.

(Notare come si formino sui segmenti AB, CH e CB tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i punti corrispondenti siano parallele).

Possiamo concludere che la figura risulta inscritta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.