Eadem Mutata Resurgo (Cos'è un frattale)

Come varia la lunghezza?

La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta

eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei

passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei

segmenti eliminati è pari a:

Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9,

2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché

ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo

adiacente al precedente, ogni estremo di un

intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme

di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche

il nome di polvere.

Qual è la dimensione?

Consideriamo il secondo passo della costruzione

della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno

dei quali è simile al precedente ed esattamente di

lunghezza uguale ad 1/3 del precedente. Dunque la

dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3,

approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto,

ma meno di una linea!

E’ autosimile?

La risposta è affermativa, infatti la struttura che

osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola,

e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.

L'insieme di Cantor presenta quindi pienamente le caratteristiche di un frattale.

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Area finita

Il contorno dei frattali, pur avendo lunghezza infinita, è racchiuso in un'area limitata.

Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch

L'area del fiocco di neve è limitata

perché è contenuta nel cerchio

circoscritto al triangolo equilatero di

partenza.

Il triangolo è inscrivibile in un cerchio.

Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo è detto

circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati.

Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide

con il baricentro, il punto di incontro delle mediane. Il

baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due

parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell'altra.

Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilatero è

quindi i 2/3 dell'altezza. Indichiamo con l'area del

S

0

triangolo.

Dopo il primo passo

La figura è costituita dall'unione di due triangoli equilateri

uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo a

ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli

sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato

AB. (Notare come si formino sui segmenti AB, CH e CB

tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come

quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i

punti corrispondenti siano parallele).

Possiamo concludere che la figura risulta inscritta nel

cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.

Indichiamo con l'area della figura al primo passo.

S

1

Dopo il secondo passo

Dal triangolo equilatero HCI, come dagli altri, spuntano

due triangoli equilateri.

Per semplicità riferiamoci al solo triangolo HCI

relativamente al quale possiamo ripetere la stessa

dimostrazione fatta al passo precedente. La figura che si

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forma è inscrivibile in un cerchio che, inoltre, risulta tangente internamente al cerchio

circoscritto al triangolo ABC. Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi

tangenti internamente ai cerchi già costruiti e quindi il fiocco di neve di von Koch avrà

area minore dell'area del cerchio circoscritto al triangolo ABC. Indichiamo con l'area

S

2

della figura completa al secondo passo.

Troviamo una formula per l’area del fiocco di neve

Ad ogni passo, si aggiungono al fiocco nuovi triangoli.

Per valutare la loro area complessiva, dobbiamo

determinare, di volta in volta:

• quanti triangoli si formano;

• quanto vale l'area di ciascuno di essi.

E' facile vedere che ad ogni passo si forma un triangolo

su ogni lato del fiocco. Ma quanti sono i lati?

Al passo 0 sono 3. Successivamente, ogni lato si divide

2 al

in 4 lati. Avremo quindi: 3×4 lati al passo 1; 3×4

k

passo 2... 3×4 lati al passo k. Di conseguenza si

formeranno: 3 triangoli al passo 1; 3×4 triangoli al

k-1

passo 2... 3×4 triangoli al passo k.

Resta da valutare l'area di ciascun triangolo, ma anche

questo non è difficile. Il lato di ogni nuovo triangolo vale 1/3 di quello dei triangoli formati

al passo precedente (è così che si costruisce il fiocco di neve). Di conseguenza, l'area

vale 1/9 di quella dei triangoli precedenti. Riassumendo:

• Al passo 0 l'area vale S

0

• Al passo 1 si formano 3 triangoli di area 1/9 di S ciascuno.

0 2

• Al passo 2 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S =S /9 . Quindi

0 0

2 2 3

• Al passo 3 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S = S /9 . Quindi

0 0

k-1 k

• triangoli di area S /9 . Quindi

Al passo k si formano 3×4 0

• Il fiocco di neve è la figura limite che si ottiene reiterando il procedimento

all'infinito. Per questo, occorre trovare il limite di S per che tende all'infinito. Tale

k

k

limite si calcola facilmente ove si noti la presenza, nelle somme parziali, di una

serie geometrica di ragione 4/9 e di termine iniziale 3/9.

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• Ricordando la formula che esprime l'area di un triangolo equilatero di lato si

s

ottiene finalmente Curva e fiocco di neve di Von Koch

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Area nulla

Altre volte l'area può essere addirittura nulla, come nel caso del triangolo di Sierpinski.

Il triangolo di Sierpinski

Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde

alla figura di partenza non ancora trasformata:

1. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità

il lato = 1

2. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che

uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato

= 1/2

3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati:

otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4

4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati:

otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8

5. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati:

otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16

Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di

essi si dimezza. E' quindi facile dedurre che al passo k:

-k -k k

• [ricordo che 2 = (1/2) ];

la misura di un lato è 2 k

• il numero di triangoli è 3 .

Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento

il procedimento sopra descritto potrà essere

in un qualsiasi numero di parti uguali:

ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.

Caratteristiche:

• Autosimilitudine: Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la

caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,

riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.

• Perimetro infinito: Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente,

infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si

dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi,

anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il

numero di passi tende ad infinito. 12

• Area nulla:

L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni

ƒ passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai

tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare

che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente:

essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.

Dimensione frazionaria: il base al nostro metodo possiamo dedurre che la

ƒ dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più

di una linea e meno di una superficie!

Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun

ƒ punto.

Dimensione del triangolo di Sierpinski

Applichiamo il concetto di dimensione appena al triangolo di

Sierpinski, ricordando che, in generale,se n è il numero di

ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da una

potenza di base n e di esponente la dimensione.

Come si vede dall'immagine a fianco, sono quattro i triangoli

che possono comporre un triangolo con i lati ordinatamente

doppi. Il triangolo ha infatti la dimensione di una superficie, e

cioè due.

Raddoppiamo ora il lato di un triangolo di Sierpinski: ci si aspetterebbe di ottenere

quattro copie dell'originale, invece esse sono soltanto tre. (Ricordiamoci di non contare i

buchi!). d

Impostiamo dunque l'equazione 3 = 2 dove d è la dimensione.

1 2

Ora, poiché 2 = 2, e 2 = 4, il nostro numero deve essere compreso fra 1 e 2.

Ecco in evidenza il paradosso apparente dei frattali: sono più di una linea ma meno di

una superficie, otterremo che:

d =log 3 = log3/log2 = 1,5849625....

2

Altrimenti, si potrà arrivare a questo valore per successive approssimazioni secondo il

procedimento che segue.

1.4

2 = 2.639015...

1.5 = 2.828427...

2 1.7

2 = 3.249009...

1.58

2 = 2.989698...

1.585

2 = 3.000077...

1.5849625

2 = 2.9999999...

1.5849626 = 3.0000002...

2 13

Dimensione non intera

Per spiegare che cosa si intenda per dimensione non intera, innanzitutto occorre capire

che cosa si intenda per dimensione.

.....delle grandezze, quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è

superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste non si hanno altre

grandezze..... Aristotele

• Un punto non ha dimensione: né lunghezza, né larghezza, né altezza.

• Una retta ha una dimensione: la lunghezza, e si estende all'infinito nei due versi.

Un punto può essere individuato, su una retta orientata

sulla quale sia fissata un'origine ed una unità di misura,

mediante coordinata.

una sola

• Il piano ha due dimensioni, lunghezza e larghezza, e si

estende all'infinito in entrambe le direzioni. Un punto può

essere individuato, su un piano sul quale sia fissato un

sistema di riferimento ed una unità di misura, mediante coordinate.

due

• Lo spazio ha tre dimensioni,lunghezza, larghezza e profondità, e si

estende all'infinito in tutte e tre le direzioni. Un punto può essere

individuato, nello spazio sul quale sia fissato un sistema di

riferimento ed una unità di misura, mediante coordinate.

tre

I frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre dopo la virgola.

Come può accadere? Dobbiamo guardare al concetto di dimensione sotto un altro

aspetto, partendo dal fatto che:

• Tutte le rette sono simili;

• Tutti i quadrati sono simili;

• Tutti i cubi sono simili.

La dimensione può essere definita, in modo più consono ai nostri scopi, nel seguente

modo:

1. Se n è il numero di ingrandimenti lineari, indichiamo con f(n) il numero di copie

dell'oggetto.

2. Si ha che f(n) è rappresentato dalla potenza di base n e di esponente la

dimensione. d

3. Dunque possiamo scrivere f(n) = n

[f(n)] = log[f(n)]/logn

4. Si ha quindi d =log n

Esempio

Prendiamo un segmento e raddoppiamo la sua lunghezza.

1

Otteniamo due copie del segmento originale. 2=2

In generale otteniamo tante copie quanto è il numero di

ingrandimenti.

Si ha che f(n) = n.

Dunque d=1 Prendiamo ora un rettangolo e raddoppiamo la

lunghezza di entrambe le sue dimensioni.

2

Otteniamo quattro copie dell'originale. 4=2

14

Se triplichiamo la lunghezza di

entrambe le sue dimensioni otteniamo

2

invece nove copie dell'originale. 9=3

In generale otteniamo che le copie sono

uguali al quadrato del numero di

ingrandimenti. 2

Si ha che f(n) = n

Dunque d=2

Prendiamo un cubo e raddoppiamo la lunghezza del suo

lato.

Otteniamo così otto copie dell'originale. 8=23

Se quadruplicassimo la lunghezza del lato, otterremmo

ben sessantaquattro copie dell'originale! 64=43

In generale otteniamo che le copie sono uguali al cubo

del numero di ingrandimenti.

3

Si ha che f(n) = n

Dunque d=3

Nel caso dei frattali possiamo calcolare la dimensione, tenuto conto della loro

autosimilarità, applicando la definizione nel

passaggio fra il passo iniziale ed il primo passo: ad

esempio, nel caso della curva di Koch, vediamo che

abbiamo 4 segmenti ognuno di lunghezza=1/3 della

precedente.

Dunque la dimensione è log(4)/ log(3) ≈ 1.26