Dimostra che in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa lo divide in due triangoli che hanno tra loro e col triangolo di partenza gli angoli ordinatamente congruenti.
Risoluzione
Essendo il triangolo[math]ABC[/math]
rettangolo, sappiamo che l'angolo in [math]A[/math]
è di [math]90°[/math]
. Chiamiamo gli altri due angoli, [math]B[/math]
e [math]C[/math]
.Conducendo l'altezza
[math]AH[/math]
, notiamo che si formano due triangoli, [math]AHC[/math]
e [math]AHB[/math]
, anch'essi rettangoli, poiché l'altezza relativa all'ipotenusa cade perpendicolare su di essa.Di conseguenza,
[math] \hat {AHC} + \hat{AHB} = 90°[/math]
.Consideriamo ora il triangolo
[math]AHB[/math]
. Esso ha un angolo di [math]90°[/math]
( [math]\hat{AHB}[/math]
) , l'angolo [math]?[/math]
in comune con il triangolo di partenza [math]ABC[/math]
.Avendo quindi due angoli congruenti, il terzo sarà per forza congruente.
Quindi, possiamo affermare che
[math] \hat {BAH} + \hat{ACB} = \alpha [/math]
. I due triangoli sono quindi simili, per il primo criterio di similitudine dei triangoli.Consideriamo ora l'altro triangolo,
[math]AHC[/math]
. Anch'esso ha un angolo di 90° ( [math]\hat{AHC}[/math]
) e un angolo in comune con il triangolo di partenza [math]ABC[/math]
, l'angolo [math]\alpha [/math]
. Poiché i due triangoli hanno due angoli congruenti, anche il terzo sarà congruente. Quindi [math] \hat {CAH} + \hat{ABC} = ? [/math]
.Avendo tre angoli congruenti, anche i triangoli
[math]ABC[/math]
e [math]AHC[/math]
sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli.Ma poiché
[math]AHB[/math]
è simile ad [math]ABC[/math]
, e [math]AHC[/math]
è simile ad [math]ABC[/math]
, per la proprietà transitiva possiamo affermare che [math]AHB[/math]
e [math]AHC[/math]
sono simili fra di loro.Tutti e tre i triangoli, quindi, hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
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