Sia ABC un triangolo isoscele di base BC e siano rispettivamente D e E due punti dei lati AB e AC tali che AD = AE ....

Sia

un triangolo isoscele di base

e siano rispettivamente

e

due punti dei lati

e

tali che

. Prolunga il segmento

di due segmenti

e

entrambi congruenti a

.

Dimostra che

e che

Svolgimento

Consideriamo i triangoli

e

; essi hanno:

• [math]HD = EK[/math]
  per ipotesi;
• [math]DB = EC[/math]
  per costruzione, essendo
  [math]AD = AE [/math]
  due segmenti costruiti sui lati di un triangolo isoscele;
• [math]\hat{HDB} = \hat{KEC}[/math]
  , poiché angoli opposti al vertice di angoli alla base di un triangolo isoscele
  [math] (ADE) [/math]

Di conseguenza, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti. Possiamo quindi affermare che

, poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli

e

; essi hanno:

• [math]BH = CK [/math]
  per la precedente dimostrazione;
• [math]HK[/math]
  in comune;
• [math]\hat{BHK} = \hat{CKH}[/math]
  , per la precedente dimostrazione.

Di conseguenza, per il per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti. In particolare risulta che

poiché lati opposti ad angoli congruenti.