Sia
[math]ABC[/math]
un triangolo isoscele di base [math]BC[/math]
e siano rispettivamente [math]D[/math]
e [math]E[/math]
due punti dei lati [math]AB[/math]
e [math]AC[/math]
tali che [math]AD = AE [/math]
. Prolunga il segmento [math]DE[/math]
di due segmenti [math]DH[/math]
e [math]EK[/math]
entrambi congruenti a [math]DE[/math]
.Dimostra che
[math]HB = KC[/math]
e che [math]HC = KB[/math]
.
Svolgimento
Consideriamo i triangoli[math]BHD[/math]
e [math]CKE[/math]
; essi hanno:-
[math]HD = EK[/math]per ipotesi;
-
[math]DB = EC[/math]per costruzione, essendo[math]AD = AE [/math]due segmenti costruiti sui lati di un triangolo isoscele;
-
[math]\hat{HDB} = \hat{KEC}[/math], poiché angoli opposti al vertice di angoli alla base di un triangolo isoscele[math] (ADE) [/math]
[math]BHD[/math]
e [math]CKE[/math]
sono congruenti. Possiamo quindi affermare che [math]HB = KC[/math]
, poiché lati opposti ad angoli congruenti.Consideriamo ora i triangoli
[math]BHK[/math]
e [math]CKH[/math]
; essi hanno:-
[math]BH = CK [/math]per la precedente dimostrazione;
-
[math]HK[/math]in comune;
-
[math]\hat{BHK} = \hat{CKH}[/math], per la precedente dimostrazione.
[math]BHK[/math]
e [math]CKH[/math]
sono congruenti. In particolare risulta che [math]HC = KB[/math]
poiché lati opposti ad angoli congruenti.
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