Dato il triangolo ABC e un punto O esterno ad esso, siano A' , B' ,C' rispettivamente i simmetrici di A ,B ,C rispetto a O. Dimostra che ...

Dato il triangolo

e un punto esterno ad esso, siano , , rispettivamente i simmetrici di , , rispetto a .

Dimostra che i triangoli

e sono congruenti.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli e ; essi hanno:

• [math]BO = B’O[/math]
  per ipotesi (in quanto
  [math]O[/math]
  è il centro di simmetria);
• [math]\hat{BOC} = \hat{B’OC’}[/math]
  perché angoli opposti al vertice;
• [math]CO = C’O[/math]
  per ipotesi (in quanto
  [math]O[/math]
  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli e sono congruenti.

Da ciò si deduce che

perché lati opposti ad angoli congruenti.Ora consideriamo i triangoli e . Essi hanno:

• [math]AO = A’O[/math]
  per ipotesi (in quanto
  [math]O[/math]
  è il centro di simmetria);
• [math]\hat{AOB} = \hat{A’OB’}[/math]
  perché angoli opposti al vertice;
• [math]BO = B’O[/math]
  per ipotesi (in quanto
  [math]O[/math]
  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli e sono congruenti.

Segue che

perché lati opposti ad angoli congruenti.Ora consideriamo i triangoli e . Essi hanno:

• [math]AO = A’O[/math]
  per ipotesi (in quanto O è il centro di simmetria);
• [math]\hat{AOC} = \hat{A’OC’}[/math]
  perché angoli opposti al vertice;
• [math]CO = C’O[/math]
  per ipotesi (in quanto
  [math]O[/math]
  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli e sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che

.

Di conseguenza, i triangoli

e sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti.