Sia
un triangolo isoscele di base
. Dimostra che la bisettrice dell'angolo esterno di vertice
è parallela alla base
.
Risoluzione
Consideriamo il triangolo isoscele di base
in figura. Chiamiamo con
gli angoli congruenti alla base.
La bisettrice
divide l'angolo esterno al vertice
in due angoli congruenti
.
Dobbiamo dimostrare che la bisettrice è parallela alla base
.
Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di
; troviamo quindi l'angolo
:
Consideriamo ora l'angolo piatto in
, rivolto verso l'interno del triangolo.
Esso è formato dai due angoli
congruenti generati dalla bisettrice b e dall'angolo interno al triangolo
, che abbiamo trovato in precedenza e che vale
.
Possiamo quindi trovare il valore di
sottraendo all'angolo piatto l'angolo
e dividendo per 2:
Sappiamo quindi che l'angolo
è uguale all'angolo
.
L'angolo in
(
bianco) è uguale all'angolo (
nero) generato dalla bisettrice.
Per questo motivo, possiamo affermare che sono angoli alterni interni generati da una segmento (
) tagliato da due trasversali (
e
).
La bisettrice
e la base
sono quindi paralleli.
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