Geometria biennio superiori: Due triangoli isosceli ABC e BCD hanno in comune la base BC e i vertici A e D sono situati nello stesso semipiano di origine BC , in modo che il triangolo BCD sia contenuto in ABC ....

Due triangoli isosceli

e

hanno in comune la base

e i vertici

e

sono situati nello stesso semipiano di origine

, in modo che il triangolo

sia contenuto in

. Dimostra che la semiretta di origine

e passante per

è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli

e

; essi hanno:

• [math]AB = AC[/math]
  per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);
• [math]\hat{ABD} = \hat{ACD}[/math]
  perché differenze di angoli congruenti;
• [math]BD = CD[/math]
  per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti.

Essendo i due triangoli congruenti, si ha che

e

.

Ora consideriamo i triangoli

e

; possiamo affermare che

perché angoli supplementari di angoli congruenti;

Abbiamo quindi dimostrato che la semiretta di origine

e passante per

è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.