di Secante
Nel presente appunto ci proponiamo di spiegare nel dettaglio che cosa si intende per secante di un angolo, importante funzione trigonometrica.
Nel procedere in questa spiegazione, si darà per scontata la conoscenza di un'altra importante funzione trigonometrica, connessa alla funzione secante: il coseno di un angolo. Si consiglia dunque, qualora questo concetto risultasse poco chiaro, di consultare gli appunti ad esso relativi.
La secante di un angolo in geometria
Disegniamo innanzi tutto un triangolo rettangolo, retto in C. Siano CB e CA i suoi cateti e sia AB la sua ipotenusa. Indichiamo poi con le lettere α e β rispettivamente i due angoli acuti con vertice in A e in B.
Figura 1 (in allegato)
Si definisce secante di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente all'angolo considerato. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]sec(α)= AB/AC[/math]
[math]sec(β)= AB/BC[/math]
La geometria ci insegna che la secante di un angolo dipende unicamente dall'ampiezza dell'angolo. In altre parole, qualunque sia la misura dei tre lati di un triangolo rettangolo, a parità di angoli i loro rapporti AB/AC e AB/BC saranno sempre gli stessi. Così, un angolo di 30° avrà sempre lo stesso valore di secante, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte. Allo stesso modo anche un angolo di 60° avrà sempre lo stesso valore di secante, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte, e così via.
La secante è inoltre un valore adimensionale (cioè privo di unità di misura), in quanto rapporto tra grandezze omogenee (lato/lato).
Conoscere a memoria i valori della secante di un certo angolo (30°, 45°, 60°...ecc.) è dunque molto utile in geometria, perchè permette di determinare il valore di un cateto nota l'ipotenusa oppure l'ipotenusa noto un cateto: è sufficiente utilizzare la formula inversa derivata da quella della secante.
[math]AB = AC \cdot sec(α)[/math]
oppure: [math]AC = \frac{AB}{sec(α)}[/math]
[math]AB = BC \cdot sec(β)[/math]
oppure: [math]BC = \frac{AB}{sec(β)}[/math]
Precedentemente si è accennato al fatto che il concetto di secante è collegato in qualche modo a quello di coseno di un angolo. La relazione che lega tra loro queste importanti funzioni trigonometriche è nota come "quarta relazione fondamentale della trigonometria". Essa afferma che "la secante di un angolo è la reciproca del suo coseno". Vediamo dunque di dimostrarla.
Facendo sempre riferimento al triangolo rettangolo ABC e ricordando la definizione di coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo, possiamo scrivere che:
[math]cos(α) = AC/AB[/math]
[math]cos(β) = BC/AB[/math]
Confrontando queste formule con quelle delle secanti, possiamo proprio affermare che:
[math]sec(α)=\frac{1}{cos(α)} [/math]
[math]sec(β) = \frac{1}{cos(β)}[/math]
Attraverso questa relazione è possibile determinare il coseno di un angolo acuto quando se ne conosce la secante, oppure la secante di un angolo acuto quando se ne conosce il coseno.
Le misure della secante dei principali angoli si trovano raramente tabulate nei manuali di geometria o di trigonometria, perché essa viene solitamente sempre calcolata a partire dal coseno. Ricordiamo però che in trigonometria non è raro che l'ampiezza di un angolo venga espressa anzichè in gradi sessagesimali (30°, 45°, 60°) in radianti. La trigonometria, anzi, predilige proprio questa unità di misura.
Trascurando quale sia l'origine del radiante, ci limitiamo in questa sede a riportare i valori in radianti degli angoli più comuni.
[math]30° =\frac{π}{6}[/math]
[math]45° =\frac{π}{4}[/math]
[math]60° =\frac{π}{3}[/math]
[math]90° =\frac{π}{2}[/math]
[math]180° = π[/math]
[math]270° =\frac{3π}{2}[/math]
[math]360° = 2π[/math]
La circonferenza goniometrica
Il concetto di secante che abbiamo appena introdotto facendo riferimento ad un triangolo rettangolo è oggetto di studio in trigonometria grazie all'introduzione della cosiddetta circonferenza goniometrica. L'analisi di ciò che accade al suo interno permette anche di determinare il valore della secante degli angoli principali.
Per circonferenza goniometrica si intende una circonferenza con centro nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio arbitrario. Per semplicità, adotteremo come unità di misura dei due assi proprio la misura di questo raggio (R = 1).
Dai due assi cartesiani lo spazio e la circonferenza goniometrica sono quindi divisi in quattro quadranti: il primo conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata positiva, il secondo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata positiva, il terzo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata negativa, il quarto conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata negativa.
Facendo riferimento alla FIGURA 2 (in allegato), questo comporta che i punti A, B,C e D abbiano nel piano le seguenti coordinate:
A (1,0)
B (0,1)
C (-1,0)
D (0,-1)
Indichiamo con P un generico punto sulla circonferenza goniometrica, libero di scorrere lungo di essa: Figura 2 (in allegato).
Se da P mandiamo la perpendicolare al raggio OA della circonferenza, otteniamo il triangolo rettangolo OPH. Indichiamo con α l'angolo acuto del triangolo OPH con origine in O.
Facendo riferimento alla definizione di coseno di un angolo acuto che è stata in precedenza fornite, possiamo scrivere:
[math]cos(α) = OH/OP = OH/1 = OH[/math]
, cioè è pari all'ascissa del punto P.Questo ci permette dunque di dire che:
Per P=A:
[math]cos(α = 0) = 1[/math]
. Questo comporta che [math]sec(α =0)= \frac{1}{1} = 1[/math]
Per P=B:
[math]cos(α =\frac{π}{2} = 90°)= 0[/math]
.Questo comporta che
[math]sec(α =\frac{π}{2} = 90°)= \frac{1}{0}[/math]
, cioè non esiste. In matematica, infatti, non è possibile divide una quantità non nulla per una quantità nulla. Si dice semplicemente che l'operazione non ha senso, oppure che il valore del rapporto va all'infinito(∞).Man mano che si avvicina al punto B, la funzione coseno tende a diminuire, raggiungendo lo zero in corrispondenza di B. Questo fa sì che nel primo quadrante la secante sia crescente.
Fintanto che il punto P si trova nel primo quadrante, il suo coseno è positivo. Dunque è positiva anche la secante. Passato il punto B, il coseno diviene negativo. Dunque è negativa anche la secante.
Possiamo dunque scrivere che:
[math]sec(α =\frac{π}{2} = 90°)= ± ∞[/math]
Per P=C:
[math]cos(α =π = 180°)= -1[/math]
. Questo comporta che
[math]sec(α =π = 180°)= \frac{1}{-1} = -1[/math]
Per P=D:
[math]cos(α =\frac{3π}{2}= 270°)= 0[/math]
.Questo comporta che
[math]sec(α =\frac{3π}{2} = 270°)= \frac{1}{0}= ± ∞[/math]
Fintanto che il punto P si trova nel terzo quadrante, il suo coseno è negativo. Dunque è negativa la secante. Passato il punto C, il coseno diviene positivo. Dunque è positiva la secante.
Per P=A:
[math]cos(α =2π = 360°)= 1[/math]
. Questo comporta che
[math]sec(α =2π)= \frac{1}{1}= 0[/math]
L'analisi di ciò che accade nella circonferenza goniometrica ci permette di giungere a due importantissime conclusioni:
1) La secante è una funzione illimitata, in quanto può assumere valori che vanno da +∞ a -∞.
2) Dopo aver compiuto un giro completo, i valori della secante tornano ad essere gli stessi. Quindi la funzione secante è periodica, con periodo pari all'arco giro (360°).
Se costruiamo un grafico cartesiano ortogonale che abbia in ascissa i valori via via assunti dall'angolo α, e in ordinata i corrispettivi valori della secante, otteniamo l'andamento della FIGURA 3 (in allegato).
Il grafico prende il nome di secantoide, e come possiamo vedere presenta due asintoti verticali corrispondenza di
[math]α =\frac{π}{2}= 90°[/math]
e [math]α =\frac{3π}{2}= 270°[/math]
.
