Scrivere l'equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d'intersezione della
retta[math]x-3y-1=0[/math]
con la retta [math]x+2=0[/math]
e della retta [math]x-2y=0[/math]
con la retta [math]x-2=0[/math]
. Svolgimento
Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette:[math]x-3y-1=0[/math]
e [math]x+2=0[/math]
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:
[math]\egin{cases} x-3y-1=0 \\ x+2=0 \ \end{cases}[/math]
;
[math]\egin{cases} -2-3y-1=0 \\ x=-2 \ \end{cases}[/math]
;
[math]\egin{cases} 3y=-3 \\ x=-2 \ \end{cases} => {(y=-1),(x=-2):}[/math]
. Pertanto il punto d'intersezione sar [math]A(-2;-1)[/math]
. Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette:
[math]x-2y=0[/math]
e [math]x-2=0[/math]
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:
[math]\egin{cases} x-2y=0 \\ x-2=0 \ \end{cases}[/math]
;
[math]\egin{cases} 2-2y=0 \\ x=2 \ \end{cases}[/math]
;
[math]\egin{cases} 2y=2 \\ x=2 \ \end{cases} => {(y=1),(x=2):}[/math]
. Pertanto il punto d'intersezione sar [math]B(2;1)[/math]
. La distanza tra
[math]A[/math]
e [math]B[/math]
quindi, sar il diametro della circonferenza da determinare La distanza tra due punti uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
[math]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]
. Quindi
[math]\bar{AB}=\sqrt{(2+2)^2+(1+1)^2}=\sqrt(4^2+(2)^2)=\sqrt(16+4)=\sqrt(20)=2\sqrt5[/math]
. Il diametro della circonferenza uguale al doppio del suo raggio, cio [math]\bar{AB}=2r[/math]
. Pertanto [math]r=(\bar{AB})/2=(2\sqrt5)/2=\sqrt5[/math]
. Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
. Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi. Quindi indichiamo con[math]M[/math]
il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
, le sue coordinate saranno (x_M;y_M), dove
[math]x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2[/math]
. Pertanto presi [math]A(-2;-1), B(2;1)[/math]
si ha
[math]x_M=(2-2)/2=0 ^^ y_M=(1-1)/2=0[/math]
. Quindi il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
sar [math]M(0;0)[/math]
. Quindi [math]c=M(1:-1/2)[/math]
. Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro [math]C(0;0)[/math]
e raggio [math]\sqrt5[/math]
. La circonferenza il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.In formule, l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e di raggio
[math]\sqrt5[/math]
, sar:
[math](x-0)^2+(y-0)^2=r^2[/math]
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
[math]x^2+y^2=5[/math]
;
[math]x^2+y^2-5=0[/math]
Quest'ultima rappresentano l'equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d'intersezione della retta [math]x-3y-1=0[/math]
con la retta [math]x+2=0[/math]
e della retta [math]x-2y=0[/math]
con la retta [math]x-2=0[/math]
.
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