Scrivere l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi
[math]A(-2;1), B(4;-2)[/math]
. Svolgimento Calcoliamo la misura del diametro La distanza tra due punti uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
[math]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]
. Quindi
[math]\bar{AB}=\sqrt{(4+2)^2+(-2-1)^2}=\sqrt(6^2+(-3)^2)=\sqrt(36+9)=\sqrt(45)=3\sqrt5[/math]
. Il diametro della circonferenza uguale al doppio del suo raggio, cio [math]\bar{AB}=2r[/math]
. Pertanto [math]r=(\bar{AB})/2=(3\sqrt5)/2[/math]
.Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
. Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi. Quindi indichiamo con[math]M[/math]
il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
, le sue coordinate saranno (x_M;y_M), dove
[math]x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2[/math]
. Pertanto presi [math]A(-2;1), B(4;-2)[/math]
si ha
[math]x_M=(4-2)/2=2/2=1 ^^ y_M=(-2+1)/2=-1/2[/math]
. Quindi il punto medio del segmento [math]\bar{AB}[/math]
sar [math]M(1;-1/2)[/math]
. Quindi [math]c=M(1:-1/2)[/math]
. Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro [math]C(1;-1/2)[/math]
e raggio [math](3\sqrt5)/2[/math]
. La circonferenza il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.In formule, l'equazione della circonferenza di centro
[math](x_0;y_0)[/math]
e di raggio [math]r[/math]
, sar:
[math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/math]
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
[math](x-1)^2+(y+1/2)^2=((3\sqrt5)/2)^2[/math]
; Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
[math]x^2+1-2x+y^2+1/4+y=(45)/4[/math]
;
[math]x^2+y^2-2x+y+1+1/4-(45)/4=0[/math]
Il m.c.m. [math]4[/math]
[math](4x^2+4y^2-8x+4y+4+1-45)/4=0[/math]
moltiplicando ambo i membri per [math]4[/math]
[math]4x^2+4y^2-8x+4y-40=0[/math]
Dividendo ambo i membri ancora per [math]4[/math]
[math]x^2+y^2-2x+y-10=0[/math]
quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi [math]A(-2;1), B(4;-2)[/math]
.
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