Nell'appunto seguente studieremo il primo teorema sui triangoli rettangoli, nell'ambito della trigonometria. Esso ci risulterà utile per calcolare le misure dei lati di un triangolo noti gli angoli e uno solo dei lati.
Infatti, se non fosse noto almeno un lato il triangolo non sarebbe univocamente determinato!
Basti pensare ad un triangolo che può essere arbitrariamente dilatato o contratto (un po' come se facessimo zoom su un'immagine); otterremmo un triangolo con gli stessi angoli del triangolo di partenza, ma angoli diversi.
Con "trigonometria" si intende lo studio dei triangoli rettangoli e delle loro proprietà mediante gli strumenti del calcolo goniometrico.
Triangoli rettangoli: Primo teorema della Trigonometria
"In un triangolo rettangolo, un cateto si ottiene moltiplicando l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto oppure per il coseno dell'angolo adiacente"
In formule:
[math] a = c \sin (\alpha), \ a = c \cos ( \beta) , \ b = c \sin(\beta) , \ b = c \cos( \alpha) [/math]
Dimostrazione del primo teorema
Fissiamo un sistema di riferimento con l'origine fissata nel punto[math]A[/math]
; l'asse delle ascisse coincide con la retta che passa per [math]A[/math]
e per [math]B[/math]
, quindi su cui giace il segmento [math]AB[/math]
. Disegniamo una circonferenza goniometrica (excursus: una particolare circonferenza che ha il centro [math]C[/math]
coincidente con l'origine degli assi [math]O(0;0)[/math]
e raggio [math]r = 1[/math]
). La circonferenza goniometrica intersecherà l'ipotenusa nel punto di coordinate P(cosα ; senα). Tracciamo la proiezione del punto P sull'asse delle ascisse, H.
Adesso consideriamo i triangoli che si vengono a formare:
[math]APH[/math]
ed [math]ABC[/math]
. Essi hanno tutti gli angoli congruenti, quindi avranno i lati in proporzione:[math] BC : PH = AB : AP [/math]
[math] a : \sin (\alpha) = c : 1 [/math]
[math] a = c \sin (\alpha) [/math]
[math] AC : AH = AB : AP [/math]
[math] b : \cos (\alpha) = c : 1 [/math]
[math] b = c \cos (\alpha) [/math]
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