La perpendicolarità 

|A|

α

• se =0 c= ovvero |A| = c|B|, i due vettori coincidono ed hanno stesso verso = falso

κ

|B|

α

• °

=90 c = 0

se , i due vettori sono distinti = vero

κ

-|A|

α

• °

= 180 c=

se , i due vettori coincidono e hanno verso opposto = falso

κ

|B|

α

• °

se =270 c = 0 , i due vettori sono distinti = vero

κ

EQUAZIONE IMPLICITA DELLA RETTA

Tornando alla condizione di normalità espressa da

B(A – cB) = 0

osserviamo che A e B sono due vettori applicati nell’origine e quindi sono definiti ciascuno da una

n-upla che rappresenta le coordinate dell’estremità libera del vettore, ovvero un punto.

Cambiamo simboli ponendo N(X – P) = 0 dove

• X (x,y) è un punto qualsiasi del piano

• N (a,b) è un vettore non nullo applicato nell’origine

• P (u,v) è il punto per il quale passa una retta normale ad N

Essendo NX = PN sarà ax + by = ua +vb, da cui ponendo ua + vb = -c si ha

ax + by + c = 0

ovvero l’equazione implicita della retta passante per X e P e normale ad N.

In questa equazione quindi i coefficienti a,b definiscono il vettore N normale alla retta data e a

qualsiasi altra retta i cui coefficienti a’,b’ identifichino un vettore N’=N.

c =0, si ha la condizione di normalità semplificata

Se la retta passa per l’origine, a

ua + vb = 0 = PN

in quanto ora P rappresenta un vettore coincidente con la retta e applicato nell’origine.

NORMALITA’ DI DUE RETTE NEL PIANO

Date due rette nel piano

+ + =

⎧⎪ 0

ax by c

a) ⎨ '

+ + =

' '

⎪⎩ ' 0

a x b y c

esse sono normali tra di loro se:

• il sistema a) formato dalle loro equazioni ha una soluzione

• è = 0

aa’ + bb’

La condizione di normalità = 0 è immediatamente verificata considerando le due rette

aa’ + bb’

come passanti per l’origine con:

= 0

ax + by = 0

a’x + b’y

I due vettori A (a,b) e B(a’,b’) appartenenti alle rette e applicati nell’origine sono normali tra di loro

e quindi per il teorema di Pitagora si ha

= +

2 2 2

C A B

dove C è la distanza tra i punti A e B

Quindi

− + − = + + +

2 2 2 2 2 2

( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ' )

a a b b a b a b

cioè, svolgendo il calcolo,

= 0

aa’ + bb’

il cui significato risulta chiaro scrivendo il sistema a) con equazioni in forma esplicita

= +

⎧ y mx q

⎨ = +

' '

⎩ y m x q

e ricordando che i coefficienti angolari delle due rette normali sono espressi da

'

a a

α α α

= − = = − = + ° = − .

' ( 90 )

,

m tg m tg ctg

'

b b

Pertanto si ha

1

=− e quindi -aa’ = bb’.

m '

m

Dunque i coefficienti (a, b) e (a’, b’) rappresentano nelle due equazioni del sistema a) due vettori

applicati nell’origine tra di loro normali e di conseguenza le due rette del sistema a) sono tra di loro

normali.

Per il 5° postulato di Euclide la verifica che il sistema a) abbia una ed una sola soluzione è a questo

punto ridondante. La eseguiremo in seguito nella discussione sul parallelismo..

LA SIMMETRIA

Dati tre vettori applicati nell’origine:

• A

• B con stessa direzione di A e verso opposto ad A

• C normale ad A e B

si dimostra immediatamente col teorema di Pitagora che i punti A(a,b) e B(a’,b’) sono equidistanti

dal punto C(a”,b”).

Ciò permette di affermare che date due rette r, r’ tra di loro normali, due punti P =(x ,y ) e

1 1 1

P =(x ,y ) su r equidistanti dal punto d’intersezione con r’ sono equidistanti da un unico punto

2 2 2

P=(x,y) su r’.

Più in generale, dati nel piano due punti distinti P (x ,y ) e P (x ,y ), il luogo H dei punti del piano

1 1 1 2 2 2

equidistanti da P e P è una retta normale al segmento P P passante per il suo punto medio e detta

1 2 1 2,

asse del segmento.

Anche questa dimostrazione è elementare col teorema di Pitagora.

Più elegante è quella che si basa sulla distanza di due punti.

Essendo P P = P P sarà anche

1 2

− + − = − + −

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

x x y y x x y y

1 1 2 2

eguaglianza che sviluppata porta all’equazione

− + − + + − − =

2 2 2 2

a) 2( ) 2( ) ( ) 0

x x x y y y x y x y

2 1 2 1 1 1 2 2 + +

⎛ ⎞

x x y y di

M= ,

cioè all’equazione implicita della retta passante per P e per il punto medio 1 2 1 2

⎜ ⎟

2 2

⎝ ⎠

P P , ovvero il luogo geometrico H.

1 2

Poichè la retta per P P ha equazione

1 2

− − + − − =

b) ( )( ) ( )( ) 0

y y x x x x y y

2 1 1 1 2 1

P e PM è verificata.

la condizione di normalità tra P

1 2

Ci sono dei dubbi ?

Poniamo in a)

= −

2( )

a x x

2 1

= −

2( )

b y y

2 1

= + − −

2 2 2 2

( )

c x y x y

1 1 2 2

e in b)

= −

'

a y y

2 1

= −

'

b x x

1 2

= −

'

c x y x y

2 1 1 2

ed ecco che la condizione generale di normalità

aa’ + bb’ = 0

è verificata.

E ADESSO IL PARALLELISMO

Perchè due rette siano parallele il sistema che le rappresenta deve avere un’unica soluzione e

non

tale soluzione rappresenta l’unico punto del piano per il quale le due rette hanno le stesse

coordinate, ovvero il loro punto d’intersezione.

Consideriamo le due matrici A e A’ rispettivamente incompleta e completa del sistema a):

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

a b a b c

A = , B =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

' ' ' ' '

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a b a b c

In forza del teorema di Rouchè-Capelli perché il sistema abbia una soluzione deve essere

r(A) = r(B) = 2

ovvero le due matrici devono avere lo stesso rango e tale rango deve essere uguale al numero delle

incognite del sistema. a b ( )

( ) ( )

≠ ≠

= − ≠ ' '

' '

Passando al determinante dovrà essere det A = con , 0,0 e , 0

0 a b a b

ab ba

' '

a b

il che significa che due vettori A = (a,b) e B = (a’,b’) applicati nell’origine sono L.I. ovvero non

allineati.

Tali vettori: 2

• generano uno spazio vettoriale poichè ciascuno è combinazione lineare dei due

ν

• ne sono un sottoinsieme massimale di elementi L.I.

• ne formano una base essendo generatori e L.I.

• ne definiscono, con il loro numero, l’ordine: 2

Sempre col teorema di Rouchè-Capelli possiamo verificare la condizione di parallelismo di n rette

distinte.

Infatti ponendo n = 3 e scrivendo il sistema

+ + =

⎧ 0

ax by c

⎪ + + =

b) ' ' ' 0

⎨ a x b y c

⎪ + + =

" " " 0

⎩ a x b y c

e quindi le matrici

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

a b a b c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= =

e

a' b' a' b' c'

A B

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

a" b" a" b" c"

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

perchè le rette rappresentate dalle tre equazioni siano parallele due a due i minori di ordine 2 di A

≥

dovranno essere tutti nulli e dovendo essere r(A) 1 sarà necessariamente r(A) = 1.

Passando al determinante della matrice completa sarà

a b c

= =

det a' b' c' 0

B a" b" c"

≤ ≥

da cui r(B) 2; ma dovendo anche essere r(B) 2 perchè le tre rette sono distinte, sarà

≠ r(A); dunque il sistema b) non è compatibile.

r(B) = 2

ALCUNE APPLICAZIONI

nelle quali la fantasia di ognuno potrà visualizzare strutture importanti di T vincolate alla

condizione di normalità.

Noi vi diamo un input in tal senso a commento di ciascuna di esse, assolutamente informale dal

punto di vista matematico. Voi chiudete gli occhi e trovate altre applicazioni e altre strutture.

1) URBANISTICA

Consideriamo l’insieme N nel piano delle rette parallele di equazioni

= 0

ax + by + c n ’ nel piano delle rette parallele di equazioni

e l’insieme N = 0

a’x + b’y + c’ n ϕ :N→N’ per la quale sia

L’applicazione '

c c

− = − =

aa’ + bb’ = 0 e n n q

'

a a

è biiettiva e stabilisce un rapporto biunivoco tra le rette dei due insiemi, normali tra di loro e con la

stessa ordinata all’origine.

M è il sottoinsieme del prodotto cartesiano NxN’ formato dalle coppie di rette normali tra di loro

con punto d’intersezione sull’asse delle y di ordinata q.

Come si modifica il “passo della griglia” ? = ±

Variando la comune ordinata all’origine di una coppia di rette: '

q q k

E il suo orientamento ?

Con una rotazione rigida dell’insieme M eseguita variando il coefficiente angolare di una qualsiasi

= ± .

delle rette: '

m m h

L’insieme M è quello che un architetto chiamerebbe “maglia scozzese”, ovvero una griglia di

progettazione a “passo” variabile formata da rette tra di loro normali.

Riga, squadra, tecnigrafo, fogli di carta, tavolo da disegno, monitor e Autocad sono tutti strumenti

basati sull’angolo retto che pur non impedendo al progettista di disegnare forme qualsiasi ne

condizionano la creatività e il modo di pensare.

La struttura urbanistica di Torino è un qualcosa di molto vicino ad una maglia scozzese nella quale

hanno vissuto, vivono e vivranno milioni di persone.

tra rette normali

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2) TECNOLOGIA

Sia S l’insieme nel piano delle rette di equazioni

ax + by + c = 0

tangenti alla circonferenza di equazione + −

2 2 4

u v u v uz

2 2 = − − =

+ y + ux + vy + z = 0, centro ( , ) e raggio

x d r

2 2 2

e S’ l’insieme nel piano delle rette di equazioni

a’x + b’y + c’ = 0

passanti per il centro della circonferenza di equazione + −

2 2

' ' ' ' 4 ' '

u v u v u z

2 2 ’ ’ ’ = − − =

' ( , ) e raggio

+ y + u x + v y + z = 0, centro