Formule notevoli sulla retta

Retta passante per due punti dati

Formula: Siano fissati due punti distinti e , non allineati nè in verticale nè in orizzontale. Esiste allora una e una sola retta passante sia per ? che per ?, la cui equazione in forma implicita è

[ \begin{equation} frac{y-y_A}{y_B-y_A} = frac{x-x_A}{x_B-x_A} label{eq1} end{equation} ]

Dimostrazione: Consideriamo la retta generica

, e imponiamo che passi sia per ? che per ?; otterremo così il sistema

[ \begin{cases} y_A = mx_A + q \ y_B = mx_B + q end{cases} Rightarrow \begin{cases}y_A -mx_A = y_B - mx_B \ q = y_B - mx_B end{cases} Rightarrow \begin{cases} m = frac{y_B-y_A}{x_B - x_A} \ q = y_B - Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big) x_B end{cases} ]

nel quale il secondo passaggio si ottiene sottraendo membro a membro, mentre il terzo è lecito perché ( x_B - x_A
e 0 ) per ipotesi. La retta è dunque

[ y = Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big)x + Big[ y_B - Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big) x_B Big] Rightarrow frac{y}{y_B-y_A} = frac{x}{x_B-x_A} + frac{y_B}{y_B-y_A} - frac{x_B}{x_B-x_A} ]

che si trasforma facilmente nella (( \ref{eq1} )) con pochi passaggi algebrici.

Osservazione 1: Se ? e ? sono allineati verticalmente o orizzontalmente, la (( \ref{eq1} )) non vale perché, siccome

oppure , uno dei due quozienti presenti non ha senso. In quei casi però è facile determinare la retta che passa per ? e ?, coincidendo o con la loro comune ascissa, o con la loro comune ordinata.

Retta passante per un punto dato avente dato coefficiente angolare

Formula: Siano fissati un punto e un numero reale ?. Esiste allora una e una sola retta passante per ? avente coefficiente angolare ?, la cui equazione in forma implicita è

[ \begin{equation} y - y_0 = m (x-x_0) label{eq2} end{equation} ]

Dimostrazione: Dal momento che la retta ricercata ha un ben determinato coefficiente angolare, essa può essere scritta nella forma esplicita

, e dunque non resta che trovare ?. Imponendo il passaggio per ?, scriviamo

[ y_0 = mx_0 + q Rightarrow q = y_0 - mx_0 ]

Cosicché la retta è ( y = mx + (y_0 - mx_0) ), o il che è lo stesso

.

Applicazione: Asse di un segmento

Ci proponiamo adesso di utilizzare la formula appena trovata per calcolare l'equazione dell' asse di un segmento ?? di cui siano note le coordinate degli estremi e . Ricordiamo dalla geometria piana che l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da ? e da ?; si dimostra però che esso è anche l'unica retta passante per il punto medio di ?? che sia ortogonale al segmento.

Per risolvere il problema vogliamo trovare in primo luogo la retta ??, e in particolare il suo coefficiente angolare ?, quindi rintracciare il punto medio ? di ?? e infine trovare quella retta di coefficiente angolare −1/? che passa per ?: ciò ci garantisce infatti che sia perpendicolare ad ??. In virtù di (( \ref{eq1} )), la retta per ? e per ? è

[ y = Big( frac{y_B-y_A}{x_A - x_B} Big) x + Big[ y_B - Big( frac{y_B - y_A}{x_B-x_A} Big) x_B Big] Rightarrow m = frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Rightarrow -frac{1}{m} = frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} ]

Il punto medio di ?? ha invece coordinate ( M Big( frac{x_A+x_B}{2}, frac{y_A+y_B}{2} Big) ). Quindi dalla formula ((\ref{eq2} )) si ha infine che l'asse è

[ y - frac{y_A+y_B}{2} = Big( frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} Big) Big( x - frac{x_A+x_B}{2} Big) ]

Distanza di un punto da una retta

Formula: Siano fissati una retta ? la cui equazione in forma implicita è e un punto ? di coordinate . La distanza tra il punto ? e la retta ? si calcola come

[ \begin{equation} d(r, P) = frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} label{eq3} end{equation} ]

Dimostrazione: Consideriamo le rette per ? parallele agli assi coordinati; è chiaro che esse avranno equazioni

e e che, detti ? e ? i loro punti d'intersezione con ?, si ha che ( A Big( x_0, -frac{c+ax_0}{b} Big) ) ( B Big(-frac{c+by_0}{a}, y_0 Big) ). Ciò presuppone che la retta ? non sia parallela a nessuno degli assi; d'altro canto in questo caso sarebbe semplice verificare che la (( \ref{eq3} )) vale.

Calcoliamo le distanze ?? e ??:

[ PA = -frac{c+ax_0}{b} - y_0 = frac{ax_0+by_0+c}{b} ,,,,, , ,,,,, PB = -frac{c+by_0}{a} -x_0 = -frac{ax_0+by_0+c}{a} ]

Detto ora ? il piede della perpendicolare condotta da ? a ?, adoperando il primo teorema di Euclide possiamo dire che ( PA^2 = AB cdot AH ) e ( PB^2 = AB cdot BH ). Ciò implica pure che ( AH cdot BH = frac{PA^2PB^2}{AB} = Big( frac{PAcdot PB}{AB} Big)^2), e per il secondo teorema di Euclide si ha ( PH^2 = AH cdot BH ); dunque utilizzando il teorema di Pitagora per calcolare ?? avremo

[ PH = frac{PBcdot PB}{AB} = frac{Big( frac{ax_0+by_0+c}{b} Big)Big( frac{ax_0+by_0+c}{a} Big)}{\sqrt{Big( frac{ax_0+by_0+c}{b} Big)^2 + Big( frac{ax_0+by_0+c}{a} Big)^2}} = ]

[ = frac{(ax_0+by_0+c)^2}{ab} : Big( frac{|ax_o+by_0+c| \sqrt{a^2+b^2}}{ab} Big) = frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} ]

che è la formula ricercata.

Applicazione: Bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti

Supponiamo di avere due rette ? ed ? incidenti in un punto ?, non necessariamente l'origine del sistema di coordinate. Esse, come sappiamo, formano quattro angoli opposti al vertice; il problema che ci proponiamo di risolvere consiste nel trovare le equazioni delle rette ? e ?…² rosse in figura, ovvero delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti.

È noto dalla geometria piana che esse costituiscono, quando considerate insieme, il luogo geometrico dei punti ? del piano equidistanti dalle due rette date. Detti ? e ? i piedi delle perpendicolari condotte da

ad ? ed ?, e dette e le equazioni in forma implicita delle due rette, avremo

[ PA = PB Rightarrow frac{|a_1x+b_1y +c_1|}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = frac{|a_2x+b_2y +c_2|}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}} ]

come facilmente risulta dalla formula (( \ref{eq3} )). Considerando i valori assoluti in tutte le possibili combinazioni di segno, l'equazione appena scritta si esplicita nelle seguente

[ frac{a_1+b_1y+c_1}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = pm frac{a_2x+b_2y +c_2}{a^2_2+b^2_2} ]

che è l'equazione di due rette: la prima si ottiene scrivendola con il segno più, e la seconda con il meno. Esse sono naturalmente le equazioni delle rette ? e ?…² ricercate.

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