Formula per la determinazione delle terne pitagoriche

FORMULA PER LA DETERMINAZIONE DELLE

TERNE PITAGORICHE E SUE PRIMITIVE

di Renato Signore

Dato un triangolo rettangolo, dove “a” e “b” sono i cateti e “c” l’ipotenusa, sappiamo dal

teorema di Pitagora che 2 2 2

a +b =c

da cui seguono le seguenti formule

2 2 2

+b +2ab = c +2ab

a 2 2

(a+b) - c = 2ab

(a+b+c)·(a+b-c) = 2ab

da quest'ultima 2ab

+ − =

a b c

(1) + +

a b c

ab = = ⋅

n X Y

ponendo: + +

a b c 2 si ricava “a”

a = c - b + 2XY da cui ponendo c-b = X 2 si ricava “b”

b = c - a + 2XY da cui ponendo c-a =2Y

c = a + b – 2XY da cui sostituendo “a” e “b”, si ricava “c”

Il tutto è dimostrabile sostituendo nella (1) i valori di “a” , “b” , “c” con le rispettive uguaglianze

della formula generale.

Y ^

: |

: | 2 + 2XY Formula generale per calcolare le terne pitagoriche

6 | a = X

2 + 2XY X ed Y sono le coordinate dei punti di

5 | b = 2Y

2 2

+ 2Y + 2XY un piano cartesiano in numeri naturali

4 | c = X

3 |

2 |

1 |-------------------------------------------------->

1 2 3 4 5 6 …………… X

Le TP (terne pitagoriche) primitive hanno: “ X dispari ” ed “X , Y primi fra loro”.

Esempio di calcolo delle TP : TP

n (X , Y) a b c primitiva

-----------------------------------------------------------------------

n=1= (1 * 1) a=3 b=4 c=5 si

n=2= (1 * 2) a=5 b=12 c=13 si

= (2 * 1) a=8 b=6 c=10 no

n=3= (1 * 3) a=7 b=24 c=25 si

= (3 * 1) a=15 b=8 c=17 si

n=4= (1 * 4) a=9 b=40 c=41 si

= (2 * 2) a=12 b=16 c=20 no

= (4 * 1) a=24 b=40 c=56 no

n=5= ( ) e così via.

Dalla formula generale, per ogni numero naturale n = X·Y, si generano tante TP

( a, b, c in numeri interi) quanti sono i divisori naturali di n stesso. 1