Ennagono e sue caratteristiche

In questo appunto di Matematica si tratta l’ennagono un particolare poligono, le sue caratteristiche principali, i metodi di costruzione ed una applicazione pratica.

L’ennagono

L’ennagono è un poligono costituito da nove lati e da nove angoli interni.
Un ennagono è classificabile come tutti i poligoni come:

• semplice
• complesso

Un ennagono è semplice se i suoi lati non si intersecano, ossia la linea che delimita il poligono non deve essere una linea intrecciata.
Un ennagono complesso è tale che i suoi lati si intersecano o meglio si intrecciano: la linea spezzata chiusa che lo delimita è una linea intrecciata.
I poligoni semplici, a loro volta, si suddividono in:

• convessi;
• concavi.

Un ennagono convesso è tale che non contiene alcun prolungamento dei suoi lati (i suoi angoli interni sono angoli convessi).
Un poligono si dice concavo se contiene anche un solo prolungamento dei suoi lati (ha almeno un angolo concavo).
L’ennagono regolare è caratterizzato dal fatto di avere i nove lati ed i nove angoli tutti uguali ed è sia inscrivibile sia circoscrivibile ad una circonferenza.
L’ampiezza di ogni angolo, A, interno è ricavabile dalla formula:

dove
n è il numero dei lati

Mentre il numero di diagonali tracciabili è dato da:

diagonali

esattamente 6 per ogni vertice.

Proprietà dell’ennagono regolare

Il centro della circonferenza circoscritta ed inscritta coincide con il punto di intersezione tra gli assi dei suoi lati oppure tra le bisettrici dei suoi angoli interni.
Un ennagono regolare ha nove assi di simmetria, uno per ogni suo lato.
Come per tutti i poligoni regolari, anche per l’ennagono esistono due costanti caratteristiche che ci permettono di calcolarne l’area e l’apotema noto il suo lato:
- numero fisso
- costante d’area.
Il numero fisso, f, è il rapporto fra apotema, a, e lato L

ossia

quindi apotema e lato dell’ennagono regolare sono direttamente proporzionali secondo il coefficiente f.
Tale numero varia a seconda del poligono regolare considerato, nel caso dell’ennagono regolare:

La costante d’area è il coefficiente di proporzionalità,

, fra l’area del poligono regolare (l’ennagono in questo caso) ed il quadrato del suo lato:

Per quanto riguarda l’ennagono regolare si ha che:

Analogamente si trova che l’area è data dal prodotto del perimetro per l’apotema:

Costruzione dell’ennagono regolare

Sia noto il lato AB dell’ennagono regolare che si vuole costruire.
A tal fine si eseguano i seguenti passaggi:

• Si disegni l’asse, r di tale lato AB;
• Per mezzo di un compasso si traccino due archi di circonferenza di raggio AB e centrando prima nell’estremo A e poi nell’estremo B: in questo modo si trova il punto P sull’asse r;
• Si congiunga A con P;
• Si tracci l’asse di AP, con piede K;
• Per mezzo di un compasso si traccia un arco di circonferenza di centro P e raggio PK e si trovi il punto O sull’asse r;
• O è il centro della circonferenza circoscritta all’ennagono;
• centrando col compasso in O, si traccia la circonferenza di raggio OB;
• tutti i lati dell’ennagono si trovano tracciando archi di raggio AB e puntando il compasso successivamente in ogni vertice trovato.

Esercitazione su una proprietà dell’ennagono

Sia dato un ennagono regolare e la circonferenza in cui è inscritto.
Siano assegnati ai suoi vertici, dal più alto in senso antiorario, i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I tre triangoli,

,

,

che si ottengono unendo i vertici con passo tre sono triangoli equilateri congruenti fra loro, ossia:
il triangolo

di vertici 3, 6, 9 è un triangolo equilatero congruente al triangolo equilatero

di vertici 1, 4, 7 che a sua volta è congruente al triangolo equilatero

di vertici 2, 5, 8.
Dimostriamo innanzi tutto che tali triangoli sono equilateri.

Per dimostrare tale proprietà abbiamo tre modi:

• data una circonferenza, ad archi uguali corrispondono corde uguali;
• data una circonferenza, ad angoli al centro uguali corrispondono corde uguali;
• i triangoli isosceli aventi vertice in O e per base i segmenti 36,69, 93 per il triangolo
  [math]
  T_1
  [/math]
  ; 14, 47, 71 per
  [math]
  T_2
  [/math]
  e 25, 58, 82 per
  [math]
  T_3
  [/math]
  sono tutti congruenti fra loro.

Nei primi due casi la dimostrazione è piuttosto banale. Infatti dato un ennagono regolare e la sua circonferenza circoscritta, se vengono considerati i vertici con passo tre, ossia uno ogni tre lati, tale circonferenza viene suddivisa il tre archi uguali e dalla geometria elementare, sappiamo che ad archi uguali corrispondono corde uguali. Da cui la nostra tesi.
Allo stesso modo se consideriamo la suddivisione della circonferenza circoscritta all’ennagono, come scritto sopra, si ottengono tre angoli al centro O di 120° ciascuno, cui corrispondono, necessariamente, tre corde uguali che corrispondono ai lati dei vari triangoli isosceli.
Nel caso in cui volessimo dimostrare la nostra tesi mediante l’uso dei triangoli isosceli di vertice O e basi i segmenti 36,69, 93; 14, 47, 71 e 25, 58, 82, basta osservare che tali triangoli hanno tutti angoli al vertice O pari a 120° ed hanno per lati il raggio della circonferenza circoscritta all’ennagono, quindi sono isosceli e risultano tutti uguali per il Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli (due lati uguali e l’angolo fra essi compreso), conseguentemente saranno uguali tutte le loro basi che costituiscono, a loro volta i lati dei triangoli

,

,

.
In base a questo possiamo concludere che i triangoli

,

,

, costruiti all’interno dell’ennagono come descritto sopra, sono tutti equilateri.
Dato il triangolo equilatero

, divertici 3, 6, 9 e lato L = 30cm, si vuole trovare area e perimetro dell’ennagono ad esso associato.
Noto il triangolo

, si può trovare il suo baricentro che costituisce il centro della sua circonferenza circoscritta che coincide con la circonferenza circoscritta dell’ennagono associato.
Sia OH la distanza del centro (baricentro) della circonferenza dal lato 36 del triangolo

, la cui altezza è data da

e dove H è il piede dell’altezza del triangolo

rispetto al lato 36.
Sapendo che

Noto OH si può trovare il raggio, R, della circonferenza circoscritta tramite il Teorema di Pitagora:

Sapendo che l’ennagono è suddivisibile in nove triangoli isosceli aventi angoli al vertice pari a 40° ed angoli alla base pari a 70°, si può trovare sia l’apotema, a, (altezza di tale triangolo isoscele) che il lato dell’ennagono,

, che coincide con la base di questo triangolo:

da cui

Note queste grandezze si possono calcolare perimetro, 2p, ed area, A:

per ulteriori approfondimenti sull'ennagono e i poligoni vedi anche qua